Kezdőlap


Feladat:	4703. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bekes Nándor
Füzet:	2015/április, 245 - 246. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb ellenállás-kapcsolások, Sajátos megoldási módszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/január: 4703. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kapcsolás szimmetriája miatt az $A B$ egyenes felező merőlegesén elhelyezkedő pontok ekvipotenciálisak, tehát a közöttük esetleg meglévő vezetékek eltávolíthatóak, illetve ‐ ha nem volt közöttük vezeték ‐ az beiktatható. Emiatt az eredeti kapcsolás és az 1. ábrán látható kapcsolás egyenértékű, hiszen $P$ és $P'$ , illetve $Q$ és $Q'$ akár össze van kapcsolva, akár nem, az $A$ és $B$ pontok közötti keresett $R$ eredő ellenállás ugyanakkora.

1. ábra

Az 1. ábrán sötétebben jelölt kis négyzetben lévő áramkör

C

és

D

pont közötti eredő ellenállása ugyancsak

R

, ha az ábra közepe felé a kapcsolás korlátlanul ismétlődik:

\begin{matrix} R_{A B} = R_{C D} = R . \end{matrix}

(1)

A kapcsolás az (üres téglalapokkal jelölt)

1 Ω

-os ellenállásokkal a 2. ábrán látható módon rajzolható le.

2. ábra

A szaggatott vonalak ekvipotenciális pontjainak rövidre zárása után további egyszerűsítésekre nyílik lehetőség, ahogy azt a 3. ábra mutatja.

3. ábra

Ennek megfelelően az (1) rekurziós egyenlet (ohm egységekben):

\begin{matrix} R = \frac{1}{2} + \frac{1}{1 + \frac{1}{R + 1} + 1} + \frac{1}{2}, \end{matrix}

ami az

R^{2} - 2 = 0

másodfokú egyenlettel egyenértékű. Ennek pozitív gyöke adja meg a keresett eredő ellenállást:

\begin{matrix} R = R_{A B} = \sqrt[]{2} Ω . \end{matrix}