Feladat:	4670. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berta Dénes ,  Sal Kristóf
Füzet:	2015/március, 179 - 181. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Mozgó elektromos töltésre ható erő (Lorentz-erő)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: 4670. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Egy $Q$ töltésű, $m$ tömegű, $v$ sebességgel mozgó részecske mozgásegyenlete $B$ indukciójú mágneses mezőben: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}=QvB\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $R$ a pályájának pillanatnyi görbületi sugara. A mágneses térben haladó részecske sebessége nem változik meg, $v$ tehát a kezdeti (adott) érték, és így a görbületi sugár: $\begin{array}{c}{\displaystyle R=\frac{mv}{QB}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek szerint, ha ismernénk $B$ értékét a kérdéses pontban, a keresett $R$-t már könnyen ki tudnánk számítani. Jóllehet a feladat szövege nem említi, hogy az elektron a tekercs melyik részét közelíti meg, de feltételezzük, hogy körülbelül a tekercs közepénél (vagy attól nem túl messze) található az a pont, ahol az elektron $d$ távolságra kerül a tekercs meneteitől, vagyis ahol már csak $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{D}{2}+d=0\mathrm{,}03\text{m }}\end{array}$ távol van a tekercs szimmetriatengelyétől. Ha egy tekercs elegendően hosszú és a hosszához képest kicsi az átmérője (jelen esetben ezek a feltételek teljesülnek), akkor a tekercs belsejében kialakuló mágneses mező erővonalai a tekercs végeinél ,,szétszóródva'' kívül csak nagyon gyenge mágneses mezőt hoznak létre. Ha ezt a szórt mágneses teret elhanyagoljuk, akkor a mozgó elektron csak egy egyenes vezető mágneses terét ,,érzi'', az határozza meg a részecske pályájának görbületi sugarát. (A feladat szövege szerint a tekercs ,,egyrétegű'', tehát az áram be- és kivezetési helye a tekercs különböző végeinél található, és a ,,messze'' záródó áramkör többi része nem rontja el a ,,végtelen egyenes vezető'' alapján számolt mágneses teret.)     Ebben a közelítésben (amelynek jogosságát később még megvizsgáljuk) a mágneses indukció az ábrán látható $P$ pontban az ábra síkjára merőlegesen ,,befelé'' mutat, a negatív töltésű (az ábra síkjában mozgó) elektron pályája tehát ,,felfelé'' görbül. A mágneses indukció nagyságát a gerjesztési törvényből számíthatjuk ki, ha azt a tekercset körülvevő $r$ sugarú körre alkalmazzuk. A tekercs forgásszimmetriája miatt $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">B</span></span>}$ nagysága a körvonal mentén mindenhol ugyanakkora, így fennáll $\begin{array}{c}{\displaystyle B\cdot 2r\pi ={\mu }_{0}I\mathrm{,}\text{azaz}B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\mathrm{.}}\end{array}$ (Ez a mágneses mező éppen olyan, mint a végtelen egyenes vezető tere, és a nagysága nem függ sem az $N$ menetszámtól, sem pedig a tekercs $\ell$ hosszától.) A mágneses mező nagyságának és az elektron mozgásegyenletének ismeretében a pálya görbületi sugara kiszámítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle R=\frac{2\pi mvr}{Q{\mu }_{0}I}=\frac{2\pi \cdot 9\mathrm{,}1\cdot {10}^{-31}\cdot 2\mathrm{,}5\cdot {10}^6\cdot 0\mathrm{,}03\text{m}}{1\mathrm{,}6\cdot {10}^{-19}\cdot 4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 10}\approx 0\mathrm{,}21\text{m}\mathrm{.}}\end{array}$ A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy valóban jogos volt-e a szórt mágneses tér elhanyagolása. A szolenoid belsejében $\begin{array}{c}{\displaystyle B_0={\mu }_0\frac{NI}{\ell }}\end{array}$ nagyságú, jó közelítéssel homogén mágneses indukció, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \Phi =\frac{D^2\pi }{4}{B}_0=\frac{{\mu }_{0}NI{D}^2\pi }{4\ell }}\end{array}$ mágneses fluxus alakul ki. A mágneses erővonalak a vékony tekercs egyik végén (pontosabban annak közelében) lépnek ki, és a másik tekercsvégnél gyűlnek össze. A szórt mágneses tér jól közelíthető a tekercs végpontjaiba képzelt $\pm \Phi$ fluxusú ,,mágneses ponttöltés'' gömbszimmetrikus (a Coulomb-térrel megegyező tulajdonságú ,,forrás'' és ,,nyelő'') mágneses terének szuperpozíciójával.1 A $\Phi$ fluxusú gömbszimmetrikus mágneses tér kezdőponttól (a tekercs végpontjaitól) $r$ távolságban $\begin{array}{c}{\displaystyle B_{\text{szórt}}=\frac{\Phi }{4r^2\pi }}\end{array}$ erősségű, így az eredő térerősség a tekercs közepénél, közvetlenül a menetek közelében (tehát mindkét tekercsvégtől $r=\frac{1}{2}\ell$ távolságban) $\begin{array}{c}{\displaystyle B\text{'}\approx 2B_{\text{szórt}}=\frac{2\Phi }{{\ell }^2\pi }=\frac{{\mu }_{0}NI{D}^2}{2{\ell }^3}\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonlítsuk össze ennek a szórt térnek az erősségét az egyenes vezető korábban kiszámított terével: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{B\text{'}}{B}=\frac{N{D}^{2}r\pi }{{\ell }^3}=\frac{2000\cdot 0\mathrm{,}{02}^2\cdot 0\mathrm{,}03\pi }{2^3}\approx 0\mathrm{,}01\ll \mathrm{1,}}\end{array}$ tehát a szórt tér ‐ a megadott számadatok mellett ‐ valóban elhanyagolható. Ez akkor is igaz, ha az elektronok nem pontosan a tekercs közepénél, hanem a tekercs valamelyik másik részénél (de a végeitől elegendően távol) kerülnek legközelebb a menetekhez. 1Lásd pl. a 43. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia 1/C feladatának hasonló gondolatmenetet követő megoldását a KöMaL 2012. évi novemberi számának 492. oldalán.