Feladat:	4668. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csathó Botond ,  Forrai Botond ,  Holczer András
Füzet:	2015/március, 177 - 178. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Ohm-törvény, Stefan--Boltzmann-törvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: 4668. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Egy $\ell$ hosszúságú, $A$ keresztmetszetű huzal sugara $r=\sqrt[]{A/\pi }$, felületének nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle A\text{'}=2r\pi \cdot \ell =2\ell \sqrt[]{A\pi }\mathrm{.}}\end{array}$ (Feltehetjük, hogy $\ell \gg r$, emiatt a felületbe csak a hengerpalást területét számítjuk bele, a huzalvégek területét elhanyagoljuk.) A huzal ellenállása $R=\varrho \frac{\ell }{A}$, a felvett elektromos teljesítménye tehát $I$ áramerősség esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{ fel}}=I^{2}R=\frac{I^2\varrho \ell }{A}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\varrho$ a huzal anyagának fajlagos ellenállása. Az elektromos áram hőhatása miatt a huzal hőmérséklete fokozatosan növekszik, és emiatt egyre nagyobb teljesítménnyel ad le hőt. A légritkított csőben a hővezetés elhanyagolható, így a hőleadás sugárzás útján történik. Egy $A\text{'}$ felületű, $T$ (abszolút) hőmérsékletű test $T_0$ hőmérsékletű környezetben sugárzás révén leadott teljesítménye $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{ le}}=\epsilon \sigma \left(T^4-T_0^4\right)A\text{'}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\sigma$ a Stefan‐Boltzmann-állandó, $\epsilon$ pedig a felület emissziós tényezője. Az idealizált ,,abszolút fekete testre'' $\epsilon =1$, valódi anyagok emissziós tényezője pedig 1-nél kisebb; számértéke nagyon sok paramétertől (hőmérséklet, hullámhossz, a felület érdessége, oxidáltsága) függ, emiatt a táblázatokban csak tájékoztató jellegű adatokat találunk. Állandósult hőmérséklet esetén a felvett és a leadott teljesítmény megegyezik, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{I^2\varrho \ell }{A}=\epsilon \sigma \left(T^4-T_0^4\right)\cdot 2\ell \sqrt[]{A\pi }\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a keresett hőmérséklet kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\sqrt[4]{\frac{\varrho I^2}{2\epsilon \sigma \sqrt[]{A^3\pi }}+T_0^4}\mathrm{.}}\end{array}$ A pontos számítást nehezíti, hogy a fajlagos ellenállás is és az emissziós tényező is függ a hőmérséklettől, ráadásul $\epsilon$-nak sem a nagyságát, sem a hőfokfüggését nem tudjuk megbízhatóan kezelni. Mivel a feladat csak becsült (tehát nagyságrendileg helyes, de nem pontos) értéket kérdez, első közelítésben tekintsük a huzalt abszolút fekete testnek, és ne vegyük figyelembe a fajlagos ellenállások hőfokfüggését. Ebben a (meglehetősen durva) közelítésben a megadott és a táblázatokban megtalálható adatok1 felhasználásával a $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{\text{konstantán}}\approx 315\text{K}\approx 42{}^{\circ }\text{C}\mathrm{,}\text{illetve}{T}_{\text{krómnikkel}}\approx 337\text{K}\approx 64{}^{\circ }\text{C}}\end{array}$ eredményeket kapjuk. A megoldás pontosítható, ha figyelembe vesszük a kétféle anyag ellenállásának táblázatokban megtalálható hőfokfüggését. Ekkor a konstantán esetében nem változik az eredmény (ami nem meglepő, hiszen a konstantán éppen olyan összetételű réznikkel ötvözet, amelynek nagyon kicsi a hőfoktényezője), de a krómnikkel huzal állandósult hőmérséklete sem tér el számottevően az első közelítés eredményétől, mindössze 4 fokkal lesz magasabb. További pontosítást az emissziós tényező reálisabb értékével való számítástól várhatunk. A táblázati adatok szerint a fényes felületű króm, nikkel és réz $100{}^{\circ }$C-on ${\epsilon }_{\text{króm}}=0\mathrm{,}08$; ${\epsilon }_{\text{nikkel}}=0\mathrm{,}06$; ${\epsilon }_{\text{réz}}=0\mathrm{,}02$ együtthatókkal jellemezhető, ebből arra következtethetünk, hogy az ötvözeteik sugárzása is hasonló, átlagosan $\epsilon =0\mathrm{,}05$ tényezővel írható le. A táblázatok azt is jelzik, hogy a hőmérséklet emelkedésével $\epsilon$ növekszik, volfrám esetében pl. $2000{}^{\circ }$C-on az emissziós tényező több, mint 10-szerese a szobahőmérsékleten érvényes mennyiségnek. Mindezek figyelembe vételével (átlagos emissziós együtthatóval és a megfelelő hőfoktényezőkkel számolva) a kialakuló hőmérsékletre a konstantánnál kb. $200{}^{\circ }\text{C}$-ot, a krómnikkel huzalnál pedig mintegy $300{}^{\circ }\text{C}$-ot kapunk. Ilyen hőmérsékleteken már érdemes lenne figyelembe venni a fajlagos ellenállások megváltozását is, de gondolhatunk a fémfelületek oxidációjára is (ami erősen megváltoztatja az emissziós tényezőket.) Ezeket a számításokat azonban nem végezzük el, hiszen csak becslést kívántunk adni a huzalok hőmérsékletére. 1A konstantán fajlagos ellenállása $5\cdot {10}^{-7}\Omega \text{m}$, a krómnikkelé pedig $11\cdot {10}^{-7}\Omega \text{m}$. Ez utóbbi a Négyjegyű függvénytáblázatban hibásan szerepel, és más táblázatok is igen eltérő adatokat adnak meg. Az ebből adódóan különböző számszerű eredményeket tartalmazó dolgozatokat (ha egyébként helyes gondolatmenetet követtek) teljes értékűnek tekintettük. (A szerk.)