Feladat:	4665. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kormányos Hanna Rebeka
Füzet:	2015/március, 176 - 177. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: 4665. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel a dugattyú tömege megegyezik a serpenyő tömegével, a hengerben lévő levegő nyomása kezdetben a $p_0$ légköri nyomással egyenlő. Ha az $A$ keresztmetszetű dugattyúra $mg$ súlyú homokot szórunk, a bezárt levegő nyomása megnő, térfogata lecsökken. Az állapotegyenlet szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle p_0{V}_0=p_1{V}_1\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1=p_0+\frac{mg}{A}}\end{array}$ a bezárt levegő megváltozott nyomása. A dugattyú elmozdulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta h_1=\frac{V_0}{A}-\frac{V_1}{A}=\frac{V_0}{A}\left(1-\frac{p_0}{p_0+\frac{mg}{A}}\right)=\frac{V_0}{A}\cdot \frac{mg}{p_{0}A+mg}\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonló módon számolható a serpenyőbe szórt homok esete. Ilyenkor a hengerben lévő gáz nyomása lecsökken, a gáz térfogata megnő, a dugattyú kifelé mozdul: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_0{V}_0=p_2{V}_2\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle p_2=p_0-\frac{mg}{A}\mathrm{.}}\end{array}$ A dugattyú elmozdulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta h_2=\frac{V_2}{A}-\frac{V_0}{A}=\frac{V_0}{A}\left(\frac{p_0}{p_0-\frac{mg}{A}}-1\right)=\frac{V_0}{A}\cdot \frac{mg}{p_{0}A-mg}\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy a serpenyőbe szórt homok esetében nagyobb a dugattyú elmozdulása, hiszen $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\Delta h_2}{\Delta h_1}=\frac{p_{0}A+mg}{p_{0}A-mg}>1.}\end{array}$   Megjegyzés. A fenti megállapítás akkor is érvényes marad, ha a dugattyú és a serpenyő tömege különböző, vagyis ha a hengerben lévő gáz nyomása kezdetben eltér a légköri nyomástól. Ezt legkönnyebben úgy láthatjuk be, hogy felismerjük: az izotermikus állapotváltozást a $p-V$ diagramon egy hiperbola jellemzi, és ez a görbe a fizikailag reális $V>0$ tartományban alulról konvex.