Kezdőlap


Feladat:	4664. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gula Miklós
Füzet:	2015/március, 175 - 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Bolygók, Egyéb csillagászat, Centrális erők
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: 4664. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A bolygók mozgását a gravitációs erő határozza meg. Ha a leírt törvények tetszőleges ellipszispályákon mozgó bolygókra érvényesek, akkor igazak annak speciális eseteire, a körpályákon keringő égitestekre is. Tekintsük először a Nap körül különböző sugarú körpályákon keringő, különböző tömegű két bolygó esetét, majd az ezek mozgásából kikövetkeztetett erőtörvényt alkalmazzuk az általános esetre is.
Az égitestek keringési ideje

(T_{1}

és

T_{2})

(R_{1}

és

R_{2})

sugaraktól független állandó, tehát

T_{1} = T_{2}

. Az egyenletes körmozgás állandó kerületi sebessége miatt

\begin{matrix} \frac{2 π R_{1}}{v_{1}} = T_{1} = T_{2} = \frac{2 π R_{2}}{v_{2}}, vagyis \frac{R_{1}}{v_{1}} = \frac{R_{2}}{v_{2}} . \end{matrix}

A keringéshez szükséges centripetális erőt a gravitációs erő biztosítja. Általánosan

F = m v^{2} / R

, tehát a két kiszemelt bolygóra:

\begin{matrix} \frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{m_{1}}{m_{2}} \cdot \frac{v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}} \cdot \frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{m_{1} R_{1}}{m_{2} R_{2}} . \end{matrix}

(Az utolsó lépésnél kihasználtuk

v

és

R

arányosságát.) A gravitációs erő tehát egyenesen arányos az

R

sugárral (a két test távolságával) és a keringő test

m

tömegével. A középponti testre (a Napra) nyilván ugyanakkora gravitációs erő hat, ezért ez az erő arányos a másik test

M

tömegével is. Ezek szerint Furcsavilág gravitációs törvénye:

\begin{matrix} F = f m M r, \end{matrix}

ahol

m

és

M

az egymást vonzó két test tömege,

r

a távolságuk,

f

pedig egy univerzális állandó. A gravitációs erő a Napot és a bolygót összekötő egyenes irányába mutat, más kitüntetett irány nem található a két égitest pillanatnyi helyzetében. (Ha nem így lenne, sérülne az említett egyenes körüli elforgathatóság szimmetriája.) Az erőtörvény vektoros alakja tehát:

F (r) = - f m M \cdot r

.
A bolygókra ható gravitációs erő a bolygó mozgása során mindvégig a Nap felé mutat, tehát centrális erő. A centrális erők tétele alapján a Naptól a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol, tehát a ,,II. Kepler-törvény'' Furcsavilágban is ugyanúgy szól, mint a mi Naprendszerünkben.
A bolygók általános (tehát nem kör alakú pályán történő) mozgása egy derékszögű koordinátarendszerben felbontható

x

és

y

irányú összetevőkre. Az

x

irányú erőkomponens az

x

koordinátával is és a bolygó tömegével is arányos, az ilyen irányú mozgás tehát harmonikus rezgőmozgás lesz, melynek periódusideje sem a test tömegétől, sem pedig a rezgés amplitúdójától nem függ. Ugyanez érvényes az

y

irányú koordináta időbeli változására is. A teljes mozgás azonos frekvenciájú, egymásra merőleges harmonikus rezgések szuperpozíciója, ami valóban olyan ellipszispályát eredményez, melynek középpontja a vonzócentrumnál található.