Feladat:	B.4578	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bereczki Zoltán ,  Di Giovanni Márk ,  Dinev Georgi ,  Fekete Panna ,  Fonyó Viktória ,  Forrás Bence ,  Gyulay-Nagy Szuzina ,  Kabos Eszter ,  Kúsz Ágnes ,  Lajos Hanka ,  Leipold Péter ,  Maga Balázs ,  Nagy Kartal ,  Nagy-György Pál ,  Paulovics Zoltán ,  Simkó Irén ,  Szebellédi Márton ,  Williams Kada
Füzet:	2014/május, 282 - 283. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai szerkesztések, Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/november: B.4578

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A három oldal háromféleképpen helyezkedhet el a négyszögben attól függően, hogy melyik az, amelyiknek nem adott a szemköztes párja. Az érintőnégyszög szemben lévő oldalainak összege egyenlő, így a három különböző lehetőségre három különböző szakaszt kapunk (nem biztos, hogy mind a hármat megkapjuk, lehet, hogy negatív lenne a szakasz, ez azt jelenti, hogy olyan elhelyezkedés biztosan nem létezik). Így arra kapunk lehetőségeket, hogy mi lehet a négyszögünk négy oldalának a hossza. A további lépéseket minden előbb kapott lehetőségre el fogjuk végezni, ezért csak azzal foglalkozunk, hogy ismerjük a négyszög $a$, $b$, $c$, $d$, oldalát ‐ úgy betűzve, hogy pozitív irányú körüljárás szerint ebben a sorrendben kövessék egymást. A húrnégyszögek egymással szemben lévő szögeinek összege ${180}^{\circ }$. A koszinusztétel alapján fogjuk meghatározni az $a$, $b$ oldalakat $c$, $d$-től elválasztó $e$ átlónak a hosszát: $\begin{array}{c}{\displaystyle e^2=a^2+b^2-2ab\text{cos}\alpha =c^2+d^2-2cd\text{cos}\left({180}^{\circ }-\alpha \right)=c^2+d^2+2cd\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Ebből átrendezve megkaphatjuk $\text{cos}\alpha$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2\left(ab+cd\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Az egységszakasz birtokában adott szakaszok összegét, különbségét, szorzatát és hányadosát meg tudjuk szerkeszteni, ezek által pedig az $\alpha$ szöget is, aminek értékét az egységszakasz nem befolyásolja, így az tetszőlegesen felvehető. (Az $a$ és $b$ oldalak által bezárt $\alpha$ szög ismeretében a szerkesztés már nyilvánvaló és egyértelmű.) Az adott szereposztásban pontosan akkor kapunk megoldást, ha $\text{cos}\alpha$ értéke 1 és $-1$ közé esik, hiszen $a+c=b+d$ miatt a négyszög eleve érintőnégyszög, $\alpha$ értéke pedig azt biztosítja, hogy két szemközti szög összege ${180}^{\circ }$, vagyis a kapott négyszög húrnégyszög legyen.