Feladat:	B.4574	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Rikker Bálint
Füzet:	2014/május, 281 - 282. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Paraméteres egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/november: B.4574

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Fejezzük ki az első egyenletből $z$-t, ezt helyettesítsük be a második és a harmadik egyenletbe, a második egyenletből pedig így az $x$-et kifejezve helyettesítsünk be a harmadikba. Így egyismeretlenes elsőfokú egyenletet kapunk ($a$, $b$, $c$, $d$ paraméter), ami megoldható. Az egyenletek átrendezésénél az $\left(a-c\right)$-vel, $\left(b-c\right)$-vel, stb. történő osztás ekvivalens átalakítás, mivel a feladat feltételei szerint a paraméterek egymástól különbözőek. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle z=1-x-y\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle ax+by+c\left(1-x-y\right)=d\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^{2}x+b^{2}y+c^2\left(1-x-y\right)=d^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle ax+by+c-cx-cy=d\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x\left(a-c\right)+y\left(b-c\right)=d-c\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x\left(a-c\right)=d-c-y\left(b-c\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=\frac{d-c}{a-c}-\frac{y\left(b-c\right)}{a-c}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Behelyettesítve: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a^{2}x+b^{2}y+c^2-c^{2}x-c^{2}y=d^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x\left(a^2-c^2\right)+y\left(b^2-c^2\right)=d^2-c^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{d-c-y\left(b-c\right)}{a-c}\left(a^2-c^2\right)+y\left(b^2-c^2\right)=d^2-c^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{\left(d-c\right)-y\left(b-c\right)}{a-c}\left(a+c\right)\left(a-c\right)+y\left(b^2-c^2\right)=d^2-c^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(d-c\right)\left(a+c\right)-\left(b-c\right)\left(a+c\right)y+y\left(b^2-c^2\right)=d^2-c^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y\left[b^2-c^2-\left(b-c\right)\left(a+c\right)\right]=d^2-c^2-\left(d-c\right)\left(a+c\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y=\frac{d^2-c^2-da-cd+ca+c^2}{b^2-c^2-ba-bc+ac+c^2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y=\frac{d^2-da-dc+ca}{b^2-ba-bc+ac}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y=\frac{\left(a-d\right)\left(c-d\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az $y$-t visszahelyettesítve a második egyenletbe: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x\left(a^2-c^2\right)+y\left(b^2-c^2\right)=d^2-c^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x\left(a^2-c^2\right)+\frac{\left(b^2-c^2\right)\left(a-d\right)\left(c-d\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}=d^2-c^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=\frac{\left(d^2-c^2\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)-\left(b^2-c^2\right)\left(a-d\right)\left(c-d\right)}{\left(a^2-c^2\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=\frac{\left(d-c\right)\left(d+c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)-\left(b-c\right)\left(b+c\right)\left(a-d\right)\left(c-d\right)}{\left(a-c\right)\left(a+c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=\frac{\left(d-c\right)\left(b-d\right)}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezeket az első egyenletbe visszahelyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle z=1-x-y=1-\frac{\left(d-c\right)\left(b-d\right)}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)}-\frac{\left(a-d\right)\left(c-d\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}=\frac{\left(a-d\right)\left(d-b\right)}{\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\mathrm{.}}\end{array}$