Feladat:	B.4573	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Tamás ,  Andó Angelika ,  Baran Zsuzsanna ,  Cseh Kristóf ,  Csernák Tamás ,  Fonyó Viktória ,  Gyulay-Nagy Szuzina ,  Lajkó Kálmán ,  Lajos Hanka ,  Leipold Péter ,  Leitereg Miklós ,  Maga Balázs ,  Sándor Krisztián ,  Szabó Barnabás ,  Szegedi Áron ,  Talyigás Gergely ,  Williams Kada ,  Öreg Botond
Füzet:	2014/május, 279 - 280. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Szabályos sokszögek geometriája, Trapézok, Síkgeometriai bizonyítások, Kombinációk, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/november: B.4573

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Egy szabályos 27-szög csúcsai a sokszög köré írható kör pontjai is egyben. A csúcsok által meghatározott húrok között 13 különböző hosszúság fordul elő. A 27 csúcsból kiválasztott bármely 7 csúcs rajta van ezen a körön, így egy csúcsából legfeljebb két, egymással megegyező hosszúságú szakasz indulhat ki, és a csúcsai által meghatározott szakaszok között legfeljebb 13 különböző hosszúság fordul elő. A 7 pont által meghatározott hétszögnek összesen $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=21$ oldala és átlója van, ezek egyben a köré írható kör húrjai. Ha a 21 húr között van két egyforma hosszúságú, amelyek a hétszög két-két különböző csúcsát kötik össze, akkor ez a négy csúcs húrtrapézt határoz meg (1. ábra).   1. ábra   Ha a hétszög csúcsai között van olyan $P$ pont, amiből a $PA=P{A}_1$ és $PB=P{B}_1$, páronként egyenlő hosszúságú húrok indulnak ki (2. ábra), akkor $A{A}_1{B}_{1}B$ húrnégyszöget határoz meg.   2. ábra   Ha a hétszögben van három egyforma hosszúságú szakasz, akkor biztosan van az 1. ábrának megfelelő elrendezésű trapéz, hiszen nem lehet mindhárom szakasznak közös csúcsa. Tekintsük tehát azokat az eseteket, melyekben minden hosszúság legfeljebb kétszer fordul elő. A 21 húr között van legalább 8 olyan, amelyik valamelyik másikkal megegyező hosszúságú, hiszen legfeljebb 13 különböző hosszúságú van közöttük, tehát a maradék 8 húr hossza már előfordult a 13 között. Ha van az 1. ábrának megfelelő húr-pár, akkor készen vagyunk. Ellenkező esetben az összes olyan szakasz, amelynek hossza valamelyik másikéval megegyezik, párokba rendezhető úgy, hogy az egy párba tartozó szakaszoknak van közös csúcsa. Mivel $13+7<21$, így a 7 csúcs valamelyikéből több, egymással egyező hosszúságú húr-pár indul ki, ami a 2. ábrának megfelelő helyzet, így ekkor is készen vagyunk.