Feladat:	B.4572	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baran Zsuzsanna ,  Bodnár Anna ,  Simon Kristóf
Füzet:	2014/május, 278 - 279. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Egyenlőtlenség-rendszerek grafikus megoldása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/november: B.4572

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A következőket tudjuk: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle 11}& {\displaystyle >2a-b\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 25}& {\displaystyle >2b-a\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 3b-a}& {\displaystyle >\mathrm{42,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 2a+b}& {\displaystyle >46.}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\end{array}}$ A (2) és (4) egyenlőtlenségeket átrendezve, és ,,egymás után írva'': ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{25+a}{2}>b}& {\displaystyle >46-2a\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 25+a}& {\displaystyle >92-4a\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 5a}& {\displaystyle >\mathrm{67,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle >13\mathrm{,}4.}\hfill \end{array}}$ Tudjuk, hogy $a$ egész szám, ezért $14\le a$. Az (1) és (2) egyenlőtlenséget átrendezve, és ,,egymás után írva'': ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{25+a}{2}>b}& {\displaystyle >2a-\mathrm{11,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 25+a}& {\displaystyle >4a-\mathrm{22,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 47}& {\displaystyle >3a\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{47}{3}=15\frac{2}{3}}& {\displaystyle >a\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $a$ egész szám, azért $a\le 15$. Összegezve: $14\le a\le 15$, vagyis $a=14$ vagy $a=15$. A (3) egyenlőtlenséget átrendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle b>\frac{42+a}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $a=14$ értéket visszahelyettesítve a (3) és (2) egyenlőtlenség átrendezett alakjába: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle >\frac{42+a}{3}=\frac{42+14}{3}=18\frac{2}{3}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle <\frac{25+a}{2}=\frac{25+14}{2}=19\frac{1}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezek alapján $b$ értéke csak 19 lehet. Ha $a=15$, akkor $b$ értékére igazak a következőek: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle >\frac{42+a}{3}=\frac{42+15}{3}=\mathrm{19,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle <\frac{25+a}{2}=\frac{25+15}{2}=20.}\hfill \end{array}}$ Mivel $b$ egész és az egyenlőség nem megengedett, itt nincs megoldás. Tehát az egyenlőtlenségrendszernek egy megoldása van: $a=14$ és $b=19$. A kapott megoldás valóban kielégíti a feladat követelményeit.     II. megoldás. Az egyenlőtlenségeket koordináta-rendszerben ábrázolva behatároljuk a síknak azon részét, ami az összes feltételnek megfelel. Az ábrán látható, hogy ez egy olyan négyszög, amelyen belül csupán egy egész számpár (rácspont) található. A feladatnak nem megoldásai az egyenesekre illeszkedő rácspontok, mivel az egyenlőségek a feladat szerint nem megengedettek.     A feladat megoldása tehát: $a=14$ és $b=19$.