Feladat:	B.4527	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Osváth Tibor Attila
Füzet:	2014/május, 275 - 276. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irányított gráfok, Klasszikus valószínűség, Játékelmélet, játékok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/március: B.4527

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az első dobásnak háromféle eredménye lehet. I. Mindhárom kockán egyforma szám áll. Ennek valószínűsége $\frac{6}{6^3}=\frac{1}{36}$. II. Két dobás eredménye megegyezik, a harmadik pedig ezektől különböző. Az ilyen esetek száma $6\cdot 5\cdot 3=90$, a valószínűsége $\frac{6\cdot 5\cdot 3}{6^3}=\frac{5}{12}$. Ebben az esetben azzal az egy kockával dobunk újra, ami különbözik a másik kettőtől. Ekkor $\frac{1}{6}$ valószínűséggel dobjuk a másik két kockán lévő számot, $\frac{5}{6}$ valószínűséggel pedig másik számot dobunk. A harmadik dobásra ez utóbbi esetben van szükség, a kimenetelek valószínűsége szintén $\frac{1}{6}$ és $\frac{5}{6}$. Szemléltessük a lehetőségeket irányított gráffal. A ``$+$'' jel jelenti azt, hogy nyerünk, a ``$-$'', hogy nem.     III. Mindhárom kockán különböző szám áll, erre $6\cdot 5\cdot 4=120$ lehetőség van. Ennek valószínűsége tehát $\frac{120}{6^3}=\frac{5}{9}$. Ekkor két lehetőséget választhatunk a nyerés érdekében: 1) Mindhárom kockával újra dobunk. 2) Két kockával dobunk újra. Az 1) és 2) eset valójában ugyanaz, hiszen a 2) esetben az egyik kockát kitüntetve, az azon lévő számot úgy tekinthetjük, mint az 1) esetben a változatlanul hagyott kockán lévő számot. Nézzük tehát az 1) esetet. Ekkor a valószínűségek megegyeznek az első dobás esetén megállapított valószínűségekkel. Így a gráf könnyen kiegészíthető. Ha a második dobás után ismét három különböző számot dobunk, akkor újra dobva az összes kockával, annak valószínűsége, hogy egyforma számokat dobunk, $\frac{1}{6}$, annak pedig, hogy nem, $\frac{35}{36}$. A nyerés esélye tehát: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle p}& {\displaystyle =\frac{1}{36}+\frac{5}{12}\cdot \frac{1}{6}+\frac{5}{12}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{5}{9}\cdot \frac{1}{36}+\frac{5}{9}\cdot \frac{5}{12}\cdot \frac{1}{6}+\frac{5}{9}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{1}{36}=\frac{2539}{11664}\approx }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \approx 0\mathrm{,}2177=21\mathrm{,}77\%\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$