A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Tudjuk, hogy pozitív egész, pedig prímszám. Ha létezne olyan páratlan prímszám, amelyre , akkor lenne olyan , hogy . Így . Az ismert azonosság alapján és , tehát valódi osztó, így ekkor nem lehetne prímszám. Ellentmondásra jutottunk, tehát -nek nem lehet páratlan osztója, így alakú szám. Vizsgáljuk meg az ilyen alakú kitevők esetén a maradékokat 240-el osztva:
Sejtés: ezután mindig 17 lesz a maradék. Tehát azt kell megvizsgálnunk, hogy a alakú számok milyen maradékot adnak -nel, 3-mal és 5-tel osztva. Legyen . Ha , akkor , így .
A 2-hatványok végződései pozitív kitevő esetén rendre 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 stb. Tehát végződése 7, így végződése 0, vagyis . Így esetén a prímszámnak mindig 17 lesz a maradéka 240-nel osztva. Tehát 3, 5 és 17 lehet a maradék.
|