Feladat: B.4570 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Barna István ,  Győrfi -Bátori András ,  Kúsz Ágnes ,  Lajkó Kálmán ,  Leipold Péter ,  Leitereg Miklós ,  Maga Balázs ,  Williams Kada 
Füzet: 2014/április, 220 - 221. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Szabályos sokszögek geometriája, Paralelogrammák, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/október: B.4570

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek a nyolcszög oldalai egységnyiek és tételezzük föl, hogy létezik a kívánt felbontás. Mindegyik paralelogramma oldalnak illeszkednie kell legalább egy másik paralelogramma oldalhoz (vagy a nyolcszög egy oldalához), ugyanakkor annak a paralelogramma oldalnak is egy másikhoz stb., és mivel véges sok paralelogramma van, és nyilvánvalóan nem szerepelhet semmi sem kétszer, előbb-utóbb a nyolcszög valamelyik oldalához jutunk el. Ebből következik, hogy a felbontásban szereplő paralelogrammák oldalai a nyolcszög bizonyos oldalaival párhuzamosak.

 
 
Tekintsük a nyolcszög egyik oldalát, pl. ábránkon az AB-t; az ehhez csatlakozó paralelogrammák AB-re eső oldalainak összhossza 1, ezért ugyanennyi e paralelogrammák AB-vel párhuzamos oldalainak együttes hosszúsága is, hasonlóan a hozzájuk ezen oldalaik mentén csatlakozó paralelogrammák szemköztes oldalainak összhossza stb., egészen addig, amíg az AB-vel párhuzamos FE oldalt el nem érjük.
Ezek a paralelogrammák egy olyan összefüggő tartományt (ábránkon az ABCDEFD1C1 konkáv nyolcszöget) alkotnak, amelynek az AB-vel párhuzamos szelői (összefüggő és) egységnyi hosszú szakaszok. Így ennek a tartománynak a területe a felbontástól független állandó, például egyenlő az ABEF téglalap területével, ami 1+2. Hagyjuk el e tartományt alkotó paralelogrammákat, és tekintsük a megmaradtakat. Ezek nem feltétlenül alkotnak összefüggő tartományt, de alkalmas eltolással olyan helyzetbe hozhatók, hogy együttesen például az AC1D1FGH hatszöget alkossák. Itt pedig a GH-val párhuzamos oldalú paralelogrammák alkotta tartomány területe a felbontástól függetlenül állandó, megegyezik a GHC1D1 téglalap területével, ami 2. Mivel a hatszög területe 1+2, a fennmaradó rész területe 1. Ez a paralelogrammák egymással egyenlő t területének egész számú többszöröse, ezért t szükségképpen racionális szám. Másrészt az összes paralelogramma területének összege ‐ a nyolcszög területe, azaz 2+22 ‐ is a t valamilyen egész számú többszöröse, ezért pedig t irracionális szám. A kapott ellentmondás bizonyítja, hogy a feltételezett felbontás nem létezik.