|
Feladat: |
B.4570 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Péter , Barna István , Győrfi -Bátori András , Kúsz Ágnes , Lajkó Kálmán , Leipold Péter , Leitereg Miklós , Maga Balázs , Williams Kada |
Füzet: |
2014/április,
220 - 221. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Szabályos sokszögek geometriája, Paralelogrammák, Terület, felszín |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2013/október: B.4570 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyenek a nyolcszög oldalai egységnyiek és tételezzük föl, hogy létezik a kívánt felbontás. Mindegyik paralelogramma oldalnak illeszkednie kell legalább egy másik paralelogramma oldalhoz (vagy a nyolcszög egy oldalához), ugyanakkor annak a paralelogramma oldalnak is egy másikhoz stb., és mivel véges sok paralelogramma van, és nyilvánvalóan nem szerepelhet semmi sem kétszer, előbb-utóbb a nyolcszög valamelyik oldalához jutunk el. Ebből következik, hogy a felbontásban szereplő paralelogrammák oldalai a nyolcszög bizonyos oldalaival párhuzamosak.
Tekintsük a nyolcszög egyik oldalát, pl. ábránkon az -t; az ehhez csatlakozó paralelogrammák -re eső oldalainak összhossza 1, ezért ugyanennyi e paralelogrammák -vel párhuzamos oldalainak együttes hosszúsága is, hasonlóan a hozzájuk ezen oldalaik mentén csatlakozó paralelogrammák szemköztes oldalainak összhossza stb., egészen addig, amíg az -vel párhuzamos oldalt el nem érjük. Ezek a paralelogrammák egy olyan összefüggő tartományt (ábránkon az konkáv nyolcszöget) alkotnak, amelynek az -vel párhuzamos szelői (összefüggő és) egységnyi hosszú szakaszok. Így ennek a tartománynak a területe a felbontástól független állandó, például egyenlő az téglalap területével, ami . Hagyjuk el e tartományt alkotó paralelogrammákat, és tekintsük a megmaradtakat. Ezek nem feltétlenül alkotnak összefüggő tartományt, de alkalmas eltolással olyan helyzetbe hozhatók, hogy együttesen például az hatszöget alkossák. Itt pedig a -val párhuzamos oldalú paralelogrammák alkotta tartomány területe a felbontástól függetlenül állandó, megegyezik a téglalap területével, ami . Mivel a hatszög területe , a fennmaradó rész területe 1. Ez a paralelogrammák egymással egyenlő területének egész számú többszöröse, ezért szükségképpen racionális szám. Másrészt az összes paralelogramma területének összege ‐ a nyolcszög területe, azaz ‐ is a valamilyen egész számú többszöröse, ezért pedig irracionális szám. A kapott ellentmondás bizonyítja, hogy a feltételezett felbontás nem létezik.
|
|