Feladat:	B.4567	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szabó Tímea
Füzet:	2014/április, 219. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Függvényegyenletek, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/október: B.4567

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Tetszőleges $x_0\in \text{R}\setminus \left\{\mathrm{0,1}\right\}$ számra $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(\frac{x_0-1}{x_0}\right)+f\left(\frac{1}{1-x_0}\right)=2-2x_0\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Helyettesítsük most az eredeti egyenletben $x$ helyébe az ${\displaystyle \frac{1}{1-x_0}}\in \text{R}\setminus \left\{\mathrm{0,1}\right\}$ számot: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(\frac{\frac{1}{1-x_0}-1}{\frac{1}{1-x_0}}\right)+f\left(\frac{1}{1-\frac{1}{1-x_0}}\right)=f\left(1-1+x_0\right)+f\left(\frac{1-x_0}{1-x_0-1}\right)=}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle =f\left(x_0\right)+f\left(\frac{x_0-1}{x_0}\right)=2-2\cdot \frac{1}{1-x_0}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Most pedig alkalmazzunk $x=\frac{x_0-1}{x_0}$ helyettesítést. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(\frac{\frac{x_0-1}{x_0}-1}{\frac{x_0-1}{x_0}}\right)+f\left(\frac{1}{1-\frac{x_0-1}{x_0}}\right)=f\left(\frac{x_0-1-x_0}{x_0-1}\right)+f\left(\frac{x_0}{x_0-x_0+1}\right)=}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle =f\left(\frac{1}{1-x_0}\right)+f\left(x_0\right)=2-2\cdot \frac{x_0-1}{x_0}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A $\left(2\right)$ és $\left(3\right)$ egyenletek összegéből vonjuk ki az eredeti $\left(1\right)$ egyenletet, majd osszunk 2-vel és írjunk az egyenletben $x_0$ helyett $x$-et. $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}\mathrm{.}}\end{array}$ Az eredeti függvényegyenletbe helyettesítve ellenőrízhető, hogy ez a függvény valóban megoldás is: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \frac{x-1}{x}+\frac{x}{x-1}+\frac{1}{\frac{x-1}{x}-1}+\frac{1}{1-x}+\left(1-x\right)+\frac{1}{\frac{1}{1-x}-1}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \frac{x-1}{x}+1-x+\left(1-x\right)+\frac{1-x}{x}=2-2x\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$