Feladat:	B.4563	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sal Kristóf ,  Umann Péter Andor
Füzet:	2014/április, 217 - 218. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenletek, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/október: B.4563

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Azonnal látható, hogy a belső négyzetgyökvonás csak akkor végezhető el, ha $x\ge 2$. Először adjunk hozzá mindkét oldalhoz $\sqrt[]{x-1-\sqrt[]{4x-8}}$-t, majd emeljünk négyzetre: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+14-\sqrt[]{4x-8}=9+6\sqrt[]{x-1-\sqrt[]{4x-8}}+x-1-\sqrt[]{4x-8}\mathrm{.}}\end{array}$ Rendezés után: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1=\sqrt[]{x-1-\sqrt[]{4x-8}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ismét emeljünk négyzetre, vonjunk le mindkét oldalból $1$-et és adjunk hozzá $\sqrt[]{4x-8}$-at: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1=x-1-\sqrt[]{4x-8}\mathrm{,}\sqrt[]{4x-8}=x-2.}\end{array}$ További négyzetre emelés után másodfokú egyenletet kapunk. $\begin{array}{c}{\displaystyle 4x-8=x^2-4x+\mathrm{4,}{x}^2-8x+12=0.}\end{array}$ Ennek gyökei $x=2$ és $x=6$. Behelyettesítéssel ellenőrízhető, hogy a négyzetre emelések során nem kaptunk hamis gyököt, mindkét szám megoldása az egyenletnek.     II. megoldás. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a bal oldal ,,konjugáltjával''. Ez biztosan nem nulla, mivel az első gyök alatti mennyiség nagyobb, mint a második alatti. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{x+14-\sqrt[]{4x-8}}-\sqrt[]{x-1-\sqrt[]{4x-8}}=\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x+14-\sqrt[]{4x-8}-x+1+\sqrt[]{4x-8}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =3\left(\sqrt[]{x+14-\sqrt[]{4x-8}}+\sqrt[]{x-1-\sqrt[]{4x-8}}\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sqrt[]{x+14-\sqrt[]{4x-8}}+\sqrt[]{x-1-\sqrt[]{4x-8}}=5.}\hfill \end{array}}$ Adjuk most ehhez hozzá az eredeti egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2\sqrt[]{x+14-\sqrt[]{4x-8}}}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sqrt[]{x+14-\sqrt[]{4x-8}}}& {\displaystyle =\mathrm{4,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x+14-\sqrt[]{4x-8}}& {\displaystyle =\mathrm{16,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x-2}& {\displaystyle =\sqrt[]{4x-8}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Innen a megoldás akár az első megoldás szerint is folytatható, de a kicsit átrendezett $x-\sqrt[]{4x-8}=2$ alakból újabb konjugálttal történő bővítéssel is befejezhető.