Feladat:	B.4557	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mészáros Gabriella
Füzet:	2014/április, 215 - 216. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Esetvizsgálat, Egyéb sokszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/szeptember: B.4557

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A pontok lehetséges elhelyezkedései szerint három esetre bontjuk a megoldást. 1. eset: A pontok egy konvex ötszög csúcsai. Az ötszög belső szögeinek összege ${540}^{\circ }$,   így valamelyik csúcsnál legalább $\frac{{540}^{\circ }}{5}={108}^{\circ }$, tehát tompaszög van. Ez a csúcs a két szomszédjával együtt egy tompaszögű háromszöget alkot. 2. eset: A pontok konvex burka négyszög. Ekkor az ötödik pont a konvex négyszög belsejében helyezkedik el, amelyet összekötve a konvex négyszög csúcsaival négy háromszöget kapunk. A belső pontban a négy szög összege ${360}^{\circ }$. Nem lehet mind a négy szög ${90}^{\circ }$, mert akkor a belső pont az átlók metszéspontja lenne, tehát nem teljesülne az a feltétel, hogy semelyik három pont nem esik egy egyenesbe. Ezek szerint biztosan lesz ebben az esetben ${90}^{\circ }$-nál kisebb és nagyobb szög is a négy szög között, és így a négy háromszög között lesz tompaszögű. 3. eset: A pontok konvex burka háromszög. Ekkor a konvex burkot adó háromszög belsejében két pont is elhelyezkedik. Ezek közül az egyiket összekötve a konvex burok csúcsaival három olyan háromszöget kapunk, amelyeknek a belső pontnál fekvő szögei összesen ${360}^{\circ }$-osak. Az egyik szög így legalább ${120}^{\circ }$, és az általa meghatározott háromszög tompaszögű.