Feladat:	B.4556	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fellner Máté
Füzet:	2014/április, 214 - 215. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/szeptember: B.4556

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha $x=0$, akkor az első egyenletből $y=0$. Hasonlóan, ha $y=0$, akkor a második egyenletből $x=0$. Tehát az $x_1=0$, $y_1=0$ számpár megoldása az egyenletrendszernek és a továbbiakban feltehetjük, hogy $x\ne 0$, $y\ne 0$. Vonjuk ki egymásból a két egyenletet. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x^3-y^3=5x+y-5y-x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=4\left(x-y\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Most két esetet kell vizsgálnunk. Ha $x=y$, akkor az eredeti első egyenletbe helyettesítve $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3=5x+x\mathrm{,}{x}^3-6x=0.}\end{array}$ Mivel már feltehetjük, hogy $x\ne 0$, ezért $x^2=6$. Ebből kapjuk az $x_2=y_2=\sqrt[]{6}$ és $x_3=y_3=-\sqrt[]{6}$ megoldásokat. Ha $x\ne y$, akkor $x^2+xy+y^2=4$. Mielőtt ennek részletes vizsgálatához kezdenénk, adjuk össze az eredeti két egyenletet. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^3+y^3}& {\displaystyle =6x+6y\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}& {\displaystyle =6\left(x+y\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha most $x=-y$, akkor a második egyenletbe helyettesítve $\begin{array}{c}{\displaystyle y^3=4y\mathrm{,}{y}^2=\mathrm{4,}}\end{array}$ hiszen az $y=0$ esetet már korábban lezártuk. Innen adódnak az $x_4=2$, $y_4=-2$ és $x_5=-2$, $y_5=2$ megoldások. A továbbiakban feltehetjük, hogy $x+y\ne 0$, így az egyenlet egyszerűsíthető $\left(x+y\right)$-nal. Az egyenletek kivonásával és összeadásával kaptunk négy megoldást és látjuk, hogy a továbbiakban a következő egyenletrendszert kell már csak megoldanunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+xy+y^2=\mathrm{4,}{x}^2-xy+y^2=6.}\end{array}$ A két egyenlet kivonásával kapjuk, hogy $xy=-1$. Ezt az első egyenlethez adva, majd a másodikból kivonva: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+2xy+y^2=\mathrm{3,}{x}^2-2xy+y^2=7.}\end{array}$ E két teljes négyzetből látjuk, hogy $x+y=\sqrt[]{3}$, $x+y=-\sqrt[]{3}$, $x-y=\sqrt[]{7}$, $x-y=-\sqrt[]{7}$. Ezek párosításaiból négy további elsőfokú egyenletrendszer adódik. ${\displaystyle \begin{array}{cccccccccc}\hfill {\displaystyle x+y}& {\displaystyle =\sqrt[]{3}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle x-y}\hfill & \hfill {\displaystyle =\sqrt[]{7}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \Rightarrow }\hfill & \hfill {\displaystyle x_6}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}+\sqrt[]{7}}{2}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle y_6}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}-\sqrt[]{7}}{2}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle x+y}& {\displaystyle =\sqrt[]{3}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle x-y}\hfill & \hfill {\displaystyle =-\sqrt[]{7}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \Rightarrow }\hfill & \hfill {\displaystyle x_7}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}-\sqrt[]{7}}{2}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle y_7}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{3}+\sqrt[]{7}}{2}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle x+y}& {\displaystyle =-\sqrt[]{3}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle x-y}\hfill & \hfill {\displaystyle =\sqrt[]{7}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \Rightarrow }\hfill & \hfill {\displaystyle x_8}& {\displaystyle =\frac{-\sqrt[]{3}+\sqrt[]{7}}{2}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle y_8}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{-\sqrt[]{3}-\sqrt[]{7}}{2}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle x+y}& {\displaystyle =-\sqrt[]{3}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle x-y}\hfill & \hfill {\displaystyle =-\sqrt[]{7}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \Rightarrow }\hfill & \hfill {\displaystyle x_9}& {\displaystyle =\frac{-\sqrt[]{3}-\sqrt[]{7}}{2}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle y_9}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{-\sqrt[]{3}+\sqrt[]{7}}{2}\mathrm{.}}\end{array}}$ Ellenőrzés alapján látható, hogy mind a kilenc számpár valóban megoldása az egyenletrendszernek.