Feladat:	B.4553	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baran Zsuzsanna ,  Gáspár Attila ,  Iványi Béla ,  Kovás Dávid Péter
Füzet:	2014/április, 210 - 211. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Osztók száma, Osztók összege, Mértani sorozat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/szeptember: B.4553

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Egy szám akkor tökéletes szám, ha egyenlő valódi osztóinak az összegével. A $2\cdot 3^k$ valódi osztói az $\mathrm{1,3,}\text{...}\mathrm{,}{3}^k\mathrm{,2,2}\cdot \mathrm{3,}\text{...}\mathrm{,2}\cdot 3^{k-1}$. Ha tökéletes számról van szó, akkor felírható a következő egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+3+\text{...}+3^k+2+2\cdot 3+\text{...}+2\cdot 3^{k-1}=2\cdot 3^k\mathrm{.}}\end{array}$ Mindkét oldalhoz $2\cdot 3^k$-t hozzáadva, majd felhasználva a mértani sorozat összegképletét: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 1+3+\text{...}+3^k+2+2\cdot 3+\text{...}+2\cdot 3^k}& {\displaystyle =4\cdot 3^k\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3\left(1+3+\text{...}+3^k\right)}& {\displaystyle =4\cdot 3^k\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3\cdot \frac{\left(3^{k+1}-1\right)}{2}}& {\displaystyle =4\cdot 3^k\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3^{k+2}-3}& {\displaystyle =8\cdot 3^k\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(9-8\right)3^k}& {\displaystyle =\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3^k}& {\displaystyle =3.}\hfill \end{array}}$ Az összes átalakítás ekvivalens volt. A $3^x$ függvény szigorúan monoton növekvő, ezért az egyetlen megoldás a $k=1$.     II. megoldás. $k=1$ esetén $2\cdot 3^k$ tökéletes szám, hiszen $2\cdot 3^1=6=1+2+3$. $k\ge 2$ esetén a $3^{k-2}$, $3^{k-1}$, $3^k$ és $2\cdot 3^{k-1}$ mind egymástól és a $2\cdot 3^k$-tól is különböző pozitív egész számok és mind a $2\cdot 3^k$ osztói (mert a prímtényezős felbontásuk különböző és egyik prímtényezőjük kitevője sem nagyobb a $2\cdot 3^k$ megfelelő prímtényezőjének kitevőjénél). Tehát a $2\cdot 3^k$ osztóinak összege legalább $\begin{array}{c}{\displaystyle 3^{k-1}+2\cdot 3^{k-1}+3^k+3^{k-2}=3\cdot 3^{k-1}+3^k+3^{k-2}=2\cdot 3^k+3^{k-2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez biztosan nagyobb $2\cdot 3^k$-nál. Vagyis $2\cdot 3^k$ csak $k=1$ esetén tökéletes szám.     III. megoldás. A $2\cdot 3^k$ szám biztosan páros, mivel osztható kettővel, de a 2-nek magasabb kitevőjű hatványával nem. Ismert tétel (Karlik Zsuzsanna: A tökéletes számok című munkájában megtalálható a bizonyítással együtt), hogy egy páros $n$ szám akkor és csak akkor tökéletes, ha $n=2^{p-1}\cdot \left(2^p-1\right)$ alakú, és $\left(2^p-1\right)$ és $p$ egyaránt prímszámok. Jelen esetben $2\cdot 3^k=2^{p-1}\cdot \left(2^p-1\right)$ kell, hogy teljesüljön valamilyen $p$ prímszámra. Mivel $2^p-1$ páratlan, azért $2=2^{p-1}$, amiből $p=2$ következik a $2^x$ függvény szigorú monotonitása miatt. Ebből $2\cdot 3^k=2^{2-1}\cdot \left(2^2-1\right)=2\cdot 3$, vagyis $k=1$ az egyetlen megoldás.   Megjegyzés. Voltak, akik Euler egy tételét használták, és a megoldást $2^n\left(2^{n+1}-1\right)$ alakban keresték. Ez utóbbi gondolatmenetre jellemző típushiba volt, hogy a megoldók nem vették figyelembe, hogy a páratlan tökéletes számok létezése nyitott kérdés, és Euler ezen tételét általánosan használták.   IV. megoldás. Ha $k=1$, akkor a szám tökéletes: $6=1\cdot 2\cdot 3=1+2+3$. Nézzük meg, mi történik, ha $k$-ról $\left(k+1\right)$-re ugrunk: mennyivel fog változni az osztók összege és maga a szám. $2\cdot 3^k$ valódi osztói: $2\cdot 3^0$, $2\cdot 3^1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,2}\cdot 3^{k-1}$; $1$, $3^1$, $3^2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{3}^k$. $2\cdot 3^{k+1}$ valódi osztói: $2\cdot 3^0$, $2\cdot 3^1\mathrm{,}\cdots$, $2\cdot 3^k$; $1$, $3^1$, $3^2\mathrm{,}\cdots$, $3^k$, $3^{k+1}$. Tehát a különbségek így alakulnak: $2\cdot 3^{k+1}-2\cdot 3^k=2\cdot 3\cdot 3^k-2\cdot 3^k=4\cdot 3^k$ a két szám közötti különbség és $2\cdot 3^k+3^{k+1}=2\cdot 3^k+3\cdot 3^k=5\cdot 3^k$ az osztók összege közötti különbség. Ez azt jelenti, hogy $k>1$ esetén a valódi osztók összege nagyobb lesz, mint a szám.