Feladat:	B.4560	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kaprinai Balázs
Füzet:	2014/március, 153 - 154. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szabályos testek, Feladat, Gráfelmélet, Valószínűségszámítás - Statisztika, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/szeptember: B.4560

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A feladat szempontjából az úthálózat gráfjának csúcsai ─ a kezdeti és végállapoton kívül ─ kétfélék lehetnek: vagy a színházzal (kiindulási helyzet), vagy pedig a szállással (cél) szomszédosak. Az első esetben 1-es, a másodikban 2-es állapotról beszélünk. A kiindulási helyzetből 1 valószínűséggel közeledik Jorgosz a célhoz, ezért a kezdeti állapotból és az 1-es állapotból ugyanakkora a célba érés valószínűsége. Az 1-es helyzetből egy él visszavisz, kettő ugyanabba az állapotba visz, kettő előre visz a 2-es állapotba. A 2-es állapotból két él ugyanabba az állapotba visz, kettő visszavisz az 1-es állapotba, egy pedig a célba vezet. Ha az 1-es állapotból a célba érés valószínűsége $x$, a 2-esből $y$, akkor felírhatók az alábbi egyenletek: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x}& {\displaystyle =\left(\frac{1}{5}\cdot 0+\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y\right)\left(1-p\right)+py\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y}& {\displaystyle =p\cdot 1+\left(\frac{1}{5}\cdot 1+\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y\right)\left(1-p\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A feltétel szerint $x=\frac{1}{2}$, eszerint a 2. egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle y=p+\frac{2}{5}\left(1-p\right)+\left(1-p\right)\frac{2}{5}y\mathrm{,}\text{amiből}y=\frac{3p+2}{2p+3}\mathrm{.}}\end{array}$ Az első egyenletbe behelyettesítve $x$-et és $y$-t: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle =\left(1-p\right)\left(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\cdot \frac{3p+2}{2p+3}\right)+\frac{3p^2+2p}{2p+3}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 10p+15}& {\displaystyle =\left(1-p\right)\left(4p+6+4\left(3p+2\right)\right)+30p^2+20p\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 10p+15}& {\displaystyle =16p+14-16p^2-14p+30p^2+20p\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =14p^2+12p-1.}\hfill \end{array}}$ A két megoldás közül csak a pozitív megoldás jó, mert a valószínűség 0 és 1 közötti szám: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\frac{-12+\sqrt[]{{12}^2+4\cdot 14}}{28}=\frac{-6+5\sqrt[]{2}}{14}\approx 0\mathrm{,}0765.}\end{array}$ Tehát ha $p\approx 0\mathrm{,}0765$, akkor 0,5 valószínűséggel eléri Jorgosz a célt.