Feladat:	B.4547	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nagy-György Pál
Füzet:	2014/március, 152 - 153. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Koordináta-geometria, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Gyökös függvények, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/május: B.4547

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A kifejezés minden valós $x$-re értelmezett, mivel ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{1-x+x^2}+\sqrt[]{1-\sqrt[]{3}\cdot x+x^2}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\sqrt[]{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^2}+\sqrt[]{{\left(x-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Legyenek a derékszögű koordináta-rendszerben   az $A$ pont koordinátái $(\frac{1}{2};\frac{\sqrt[]{3}}{2})$, a $B$ pont koordinátái $(\frac{\sqrt[]{3}}{2};-\frac{1}{2})$, továbbá a $C$ pont koordinátái $\left(x;0\right)$. Az $A$ és $B$ pontok helye rögzített, míg a $C$ pont az $x$-tengely tetszőleges pontja. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle AC=\sqrt[]{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^2}\mathrm{,}BC=\sqrt[]{{\left(x-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az tehát a kérdés, hogy az $x$-tengely melyik pontjára lesz az $AC+BC$ hossza minimális. Ha a $C$ pont az $AB$ szakasz és az $x$-tengely metszéspontja, akkor a két távolság összege éppen az $AB$ szakasz hosszával egyenlő, minden más $C\text{'}$ pontjára teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: $\begin{array}{c}{\displaystyle AC\text{'}+BC\text{'}>AB\mathrm{.}}\end{array}$ A keresett minimum az $AB$ távolság: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle AB}& {\displaystyle =\sqrt[]{{\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}^2}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt[]{2\cdot {\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^2+2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt[]{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezt a minimális értéket arra a pontra kapjuk, amelyben az $AB$ egyenes metszi az $x$-tengelyt. Az $AB$ egyenes egyenlete ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{\frac{\sqrt[]{3}}{2}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}}\cdot x+\frac{\frac{\sqrt[]{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})}{\frac{\sqrt[]{3}}{2}-\frac{1}{2}}=y\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y=\frac{\sqrt[]{3}+1}{1-\sqrt[]{3}}\cdot x+\frac{2}{\sqrt[]{3}-1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az $x$-tengellyel a metszéspont az a pont lesz, amelynek második koordinátája $0$. $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt[]{3}+1}=\sqrt[]{3}-1.}\end{array}$ Tehát az $\sqrt[]{1-x+x^2}+\sqrt[]{1-\sqrt[]{3}\cdot x+x^2}$ kifejezés minimuma $\sqrt[]{2}$, minimumhelye $x=\sqrt[]{3}-1$.