A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Használjuk a szokásos jelöléseket. Mivel egy derékszögű háromszög oldalainak hossza pozitív, alkalmazhatjuk rájuk a négyzetes és számtani közép között fennálló egyenlőtlenséget: A Pitagorasz-tételt szerint . Továbbá tudjuk, hogy , ahol állandó. Ez utóbbiból következik. Helyettesítsük be ezeket az (1) egyenlőtlenségbe: Mivel , ebből: Rendezve az egyenletet kapjuk, hogy: | |
Mivel állandó, az átfogó legalább . Létezik is olyan háromszög, amelynek éppen ekkora az átfogója, ennek a befogóinak hossza:
Megjegyzés. Sokan az (1) egyenlőtlenség felírása után azt mondták, hogy ahol egyenlőség esetén áll fenn, tehát egyenlő szárú háromszögre lesz a legkisebb az átfogó, és kiszámolták, hogy akkor mennyi az átfogó hossza. Ez nem teljes megoldás. Egyrészt, ha adott a kerület, akkor leszűkül a szóba jövő számpárok halmaza. Másrészt közepek közti egyenlőtlenség használata esetén az egyik oldal értékét tudni szoktuk, vagyis a becslés úgy néz ki, hogy egy kifejezés legalább/legfeljebb akkora, mint egy konkrét érték. És ebben az esetben lehet azt mondani, hogy a kifejezés minimuma/maximuma ez a konkrét érték, melyet (a példabeli esetben) esetén vesz fel.
II. megoldás. Használjuk a szokásos jelöléseket. Alkalmazzuk a derékszögű háromszög oldalainak négyzetére a számtani és a mértani közepek közötti egyenlőtlenséget: A Pitagorasz-tétel szerint , ezt írjuk be a (2) egyenlőtlenségbe: Mindkét oldalhoz -et adva: , majd következik. Írjuk be ezt az egyenlőségben helyébe: amiből következik. Egyenlőség esetén áll fenn.
Megjegyzés. Sokan a (2) egyenlőtlenség felírása után azt mondták, hogy , ahol egyenlőség esetén áll fenn, tehát egyenlő szárú háromszögre lesz a legkisebb az átfogó, és kiszámolták erre az esetre az átfogó hosszát. Ez sem teljes megoldás.
III. megoldás. A derékszögű háromszög kerületét felírhatjuk a következőképpen (): | | Fejezzük ki az átfogót: Adott esetén ennek akkor van minimuma, amikor a nevezőnek és egyben -nak maximuma. | | Ez pedig az adott intervallumon esetén veszi fel a legnagyobb értékét. Így a a legkisebb értékét (vagyis egyenlő szárú háromszög) esetén veszi fel, és a felvett minimum IV. megoldás. Minimum és maximumérték sokszor szokott lenni egyenlő szárú háromszög esetén, nézzük meg ezt most is. Legyen a szárak hossza (így nyilván ), ekkor az átfogó , a kerület pedig: . Növeljük az egyik befogót -szel, a másikat pedig csökkentsük -nal (), és nézzük meg, változatlan kerület mellett hogyan változik az átfogó. Ha a két befogó , illetve , akkor kerület mellett az átfogó | |
Azt szeretnénk belátni, hogy , hiszen ekkor az átfogó nagyobb, mint az egyenlő szárú háromszög esetén. Írjuk fel a Pitagorasz-tételt, majd rendezzük a kapott egyenletet:
Mivel , és pozitívak, a jobb oldal csak úgy lehet 0, ha , vagyis . Ezzel beláttuk, hogy egyenlő szárú háromszög esetén a legkisebb az átfogó. Ha az átfogó , akkor a befogó , a kerület pedig: , ahonnan
V. megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy adott átfogó mellett mekkora lehet legfeljebb a két befogó összege. Vagyis adott esetén keressük maximumát, jelölje ezt . Ekkor maximuma , mely adott () szögű háromszög esetén lép fel. A kérdést megfordítva: Ha rögzített a kerület, akkor az átfogója a minimális értékét az ; ; szögek esetén veszi fel. A Pitagorasz-tétel miatt . Mivel adott, így és is az. akkor lesz a lehető legnagyobb, ha a négyzete is az: . Ebből adott, tehát és így akkor lesz a legnagyobb, amikor , és egyben felveszi a maximumát. A Thalész-tétel megfordítása miatt a háromszögnek az átfogóval szemközti csúcsa az átfogó Thalész-körén helyezkedhet el. Legyen a átfogóhoz tartozó magasságvonal . Ekkor a háromszög területe , vagyis . Mivel adott, ezért ez akkor lesz a legnagyobb, amikor a lehető legnagyobb, ez pedig akkor következik be, amikor egyben a oldal felező merőlegese is, vagyis amikor a háromszög egyenlő szárú. Egyenlő szárú háromszög esetén pedig a kerület , az átfogó , ami a kerületnek az -szerese.
Megjegyzés. Hasonló gondolatmenetet alkalmazott Bauer Márton (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., 9. évf.): A harmadik csúcs az átfogó két végpontja, mint fókusz köré szerkesztett ellipszisen helyezkedik el. A lehető legnagyobb ellipszis, aminek vannak közös pontjai a körrel, az amelyik a kört két ponton érinti. Ezek a pontok az átfogóhoz írható egyenlő szárú derékszögű háromszög csúcsai.
VI. megoldás. Legyen derékszögű háromszög, és a kerületét, -t mérjük fel egyenesére az 1. ábrának megfelelően.
1. ábra Mivel egyenlő szárú derékszögű háromszög, . Emiatt a csúcs a -val -os szöget bezáró félegyenesen helyezkedik el -tól távolságra, tehát a pont az pont körül sugárral húzott kör és a félegyenes közös pontja. Ezért legalább akkora, mint az pont és a félegyenes távolsága. Így | | vagyis amiből rendezéssel , majd , végül | |
Ebből következik, hogy legkisebb értéke , ami akkor következik be, amikor az középpontú, sugarú kör érinti a félegyenest. Ekkor , és így , vagyis az háromszög egyenlő szárú.
VII. megoldás. Az első megoldás megjegyzésében említettük, hogy a feladatban leszűkül az a tartomány, amelyre a közepek közötti egyenlőtlenséget alkalmazzuk. Vizsgáljuk ezt meg jobban. Adott a állandó, és . Ebből
amiből . Ezt ábrázolva látható, hogy azok az számpárok lesznek egy kerületű háromszög befogói, amelyek a megfelelő hiperbola-ív és pontjai közé esnek (2. ábra).
2. ábra
3. ábra Mivel a Pitagorasz tétel szerint , így egy középpontú, sugarú kör és a hiperbola-ív metszéspontjainak koordinátái egy megfelelő ( kerületű) háromszög befogóinak hosszát adják (3. ábra). A értéke kisebb, mint a kör sugara, vagyis , és legalább akkora, mint a kör sugara. (A kör egy ,,köztes'' kört mutat, ahol és két megfelelő háromszög koordinátáit adják.) A kör az pontban érinti a hiperbola-ívet, a szimmetria miatt két koordinátája egyenlő. Tehát értéke egyenlő szárú háromszög esetén lesz minimális, kiszámolható (lásd pl. a IV. megoldást), hogy ekkor . |
|