|
Feladat: |
B.4481 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Barna István , Bogáromi Dávid , Di Giovanni Márk , Fehér Zsombor , Fonyó Viktória , Forrás Bence , Janzer Barnabás , Janzer Olivér , Maga Balázs , Somogyvári Kristóf , Szabó Barnabás , Tardos Jakab , Tossenberger Tamás , Vályi András , Williams Kada |
Füzet: |
2014/február,
88. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladatok, Polinomok oszthatósága, Teljes indukció módszere |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2012/október: B.4481 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Tegyük fel, hogy egy polinom kielégíti a feltételeket. Emeljük ki -ből -nek a lehető legnagyobb kitevőjű hatványát: úgy, hogy | | ahol és nemnegatív egészek, egészek, továbbá . Mivel végtelen sok prímszám van, a nemnulla számnak pedig csak véges sok osztója, azért végtelen sok olyan prímszám létezik, amelyre . Egy ilyen prímre nem osztható -vel, hiszen a konstans tag nem osztható vele, a többi tag viszont igen. Feltevésünk szerint egyetlen prímosztója , ezért -nek nem lehet -től különböző prímosztója, azaz . Így a polinom vagy az 1, vagy a értéket végtelen sokszor veszi fel, tehát , vagy teljesül. Ezzel megmutattuk, hogy valamely nemnegatív egész számra. Könnyen ellenőrizhető, hogy a polinom pontosan akkor elégíti ki a feltételeket, ha . Tehát pontosan az , polinomok megfelelők, ahol tetszőleges pozitív egész szám.
Megjegyzés. A fenti megoldás kis módosításával az is megmutatható, hogy a feladat állítása tetszőleges valós együtthatós polinomra is igaz. Ha ugyanis egy -edfokú polinom, akkor elegendően nagy -ekre, például esetén teljesül, hogy . A feltétel szerint tetszőleges prímre az szám vagy -hatvány, vagy egy -hatvány ellentettje. Ha is teljesül, akkor a szóba jövő értékek és . A két lehetőség közül valamelyik végtelen sokszor áll fenn, így a fenti megoldáshoz hasonlóan következik, hogy vagy .
|
|