Feladat:	B.4504	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hevesi Bence
Füzet:	2014/január, 28. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszögek hasonlósága, Háromszögek egybevágósága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/január: B.4504

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen a derékszögű háromszög $ABC$, ahol $CAB\sphericalangle ={90}^{\circ }$. Jelölje a felezőmerőleges metszéspontját a $CA$ szakasszal, illetve az $AB$ egyenessel rendre $D$ és $E$ az ábra szerint.     Nyilván $ACB\sphericalangle =AED\sphericalangle$, hiszen merőleges szárú szögek, hasonlóan $ADE\sphericalangle =ABC\sphericalangle$, így az $ADE$ és $ABC$ háromszögek hasonlók. Tehát, mivel $ED=BC$, a két háromszög egybevágó. Ezért $AE=AC$, azaz $EAC$ egyenlő szárú derékszögű háromszög, $AEC\sphericalangle =ACE\sphericalangle ={45}^{\circ }$. A $BEC$ egyenlő szárú háromszög $BEC\sphericalangle =AEC\sphericalangle$ szögét $BC$ felező merőlegese felezi, így $\begin{array}{c}{\displaystyle AED\sphericalangle =\frac{{45}^{\circ }}{2}=22\mathrm{,}{5}^{\circ }\mathrm{,}\text{tehát}ACB\sphericalangle =AED\sphericalangle =22\mathrm{,}{5}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Az $ABC$ derékszögű háromszög hegyesszögei tehát 22,5 és 67,5 fokosak.