Feladat:	B.4494	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frank György
Füzet:	2014/január, 27 - 28. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/december: B.4494

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $AMP$ és $ABC$ háromszögek $A$ csúcsánál lévő szöge közös, ezért ha ezt a szöget $\alpha$ jelöli, akkor területeik aránya az $AB=AC$ egyenlőséget is felhasználva $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{T_{AMP}}{T_{ABC}}=\frac{\frac{AM\cdot AP\text{sin}\alpha }{2}}{\frac{AB\cdot AC\text{sin}\alpha }{2}}=\frac{AM\cdot AP}{AB\cdot AC}=\frac{AM}{AB}\cdot \frac{AP}{AB}\mathrm{.}}\end{array}$     Az $AB$ és $PD$ szakaszok párhuzamosak, ezért a párhuzamos szelők tétele szerint $AP:AC=BD:BC=k\mathrm{,}$ vagyis az $AB=AC$ egyenlőséget ismét felhasználva $AP=k\cdot AB$. Az $ABC$ háromszög egyenlő szárú, ezért $AF$ párhuzamos $MD$-vel, tehát megint csak a párhuzamos szelők tételét használva kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle AM=AB-BM=AB-AB\cdot \frac{BD}{BF}=AB-AB\cdot \frac{2BD}{BC}=AB\left(1-2k\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát a két háromszög területének aránya $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{AM}{AB}\cdot \frac{AP}{AB}=\left(1-2k\right)k=k-2k^2\mathrm{.}}\end{array}$