Feladat: B.4475 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baumgartner Róbert 
Füzet: 2014/január, 23 - 25. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Térgeometriai bizonyítások, Egyéb poliéderek, Térelemek és részeik
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2012/október: B.4475

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Legyen K egy ötlapú konvex poliéder. Ha K lapjai közt öt- vagy többoldalú sokszög is előfordulna, akkor K-nak legalább hat lapja lenne. Tehát a lapok közt csak háromszögek és négyszögek vannak. Legyen a háromszöglapok száma h. Ekkor a négyszöglapok száma 5-h. Jelölje e a test éleinek a számát. Minden él pontosan két lapon van rajta, ezért a test éleit laponként összeszámolva az élszám kétszeresét kapjuk, azaz
3h+4(5-h)=2e,vagyish=20-2e.
Tehát h páros szám, és mivel 6-nál kisebb, a lehetséges értékei 0, 2 és 4.
Először megmutatjuk, hogy h=0 nem lehetséges. Ekkor ugyanis K-nak öt darab négyszöglapja lenne. Ha ezek közül valamelyik csúcsban négy találkozna, akkor a négy lap mindegyikének a közös csúcson át 2-2 éle menne, az ezen a csúcson át nem menő összesen 4⋅2=8 él mindegyikének illeszkednie kellene a test ötödik négyszöglapjára, ami nem lehetséges. Ha viszont minden csúcsban pontosan három lap találkozna (legalább három lapnak találkoznia kell minden csúcsban), akkor a csúcsok száma (4⋅4)/3 lenne, ami nem egész szám.
Ha h=2, akkor minden négyszöglapnak legalább két négyszöglap szomszédja van. Tekintsünk két szomszédos négyszöglapot. Ezekre összesen 6 csúcs illeszkedik. Viszont a testnek összesen legfeljebb (2⋅3+3⋅4)/3=6 csúcsa van, azaz a testnek nincs további csúcsa. Ez csak úgy lehetséges, ha a két négyszöglap közös élére nem illeszkedő összesen 4 csúcs mindegyike a harmadik négyszöglap csúcsa. Tehát a test háromszöglapjai ,,szemben'' vannak egymással, nincs közös csúcsuk. Ilyen testek léteznek, legegyszerűbb példa az 1. ábrán látható háromszögalapú hasáb.
 


1. és 2. ábra

Végül ha h=4, akkor K-nak egyetlen négyszöglapja van, aminek minden éléhez egy-egy háromszöglap illeszkedik. Ekkor a csúcsok száma legfeljebb
4⋅3+1⋅43<6,
tehát a háromszöglapoknak egy közös csúcsuk kell, hogy legyen. Ekkor K négyszög alapú gúla (2. ábra).
Meg kell még mutatnunk, hogy mindig létezik olyan sík, amely K egyik csúcsán sem megy át, de mindegyik lapját metszi.
 

 
3. ábra
 

Legyen ABCD a K egyik négyszöglapja, CE pedig egy erre nem illeszkedő éle. Vegyünk fel az AB, AD és CE élek belsejében egy-egy X, Y és Z pontot a 3. ábra szerint. Ezek a pontok nyilván nem esnek egy egyenesre és az általuk meghatározott sík nem tartalmazza K-nak egyetlen élét sem. Az XYZ síknak a K poliéder minden lapjával van csúcstól különböző közös pontja, ezért annak mind az 5 lapját metszi.