Feladat:	B.4472	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csuma-Kovács Ádám
Füzet:	2014/január, 23. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Négyzetszámok összege, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/október: B.4472

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha a középső számot $n$-nel jelöljük, akkor a feladatban szereplő négyzetösszeg   ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left(n-3\right)}^2+{\left(n-2\right)}^2+{\left(n-1\right)}^2+n^2+{\left(n+1\right)}^2+{\left(n+2\right)}^2+{\left(n+3\right)}^2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =7n^2+28=7\left(a^2+4\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ez az összeg osztható $7$-tel, tehát csak akkor kaphatunk négyzetszámot, ha $a^2+4$ is osztható $7$-tel. A négyzetszámok $7$-tel osztva 0, 1, 2, 4 maradékot adhatnak. Viszont $a^2+4$ csak abban az esetben lehetne $7$-tel osztható, ha a lehetséges maradékok között a $3$ is szerepelne. Tehát hét egymást követő egész szám négyzetének összege nem lehet négyzetszám.