Kezdőlap


Feladat:	B.4470	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2014/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Térfogat, Hasábok, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/szeptember: B.4470

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltehetjük, hogy a kocka éleinek hossza 1. Ekkor $A K = 1 / 3$ , $B L = 1 / 4$ és $C M = 1 / 5$ . Legyen $N$ a $D H$ él és a $K L M$ sík metszéspontja, $S$ az $M$ -en, $T$ pedig a $K$ -n átmenő vízszintes sík.

Ekkor

S

a kockából egy olyan

A B C D

alapú

H_{1}

egyenes hasábot vág le, amelynek magassága

C M

, ezért térfogata

V_{1} = 1 / 5

. A

T

sík pedig egy olyan

E F G H

alapú

H_{2}

egyenes hasábot vág le a kockából, amelynek magassága

E K = A E - A K

, ezért térfogata

V_{2} = 2 / 3

. Az

S

és

T

síkok közé eső kockarész ugyancsak egyenes hasáb, amit jelöljünk

H_{3}

-mal. Ennek térfogata

\begin{matrix} V_{3} = 1 - (V_{1} + V_{2}) = 1 - (\frac{1}{5} + \frac{2}{3}) = \frac{2}{15} . \end{matrix}

Megmutatjuk, hogy a

K L M N

sík felezi

H_{3}

térfogatát. A

K L

és

M N

egyenesek egysíkúak, ugyanakkor a kocka két párhuzamos lapsíkja közül egyikük

A B F E

-re, másikuk pedig

D C G H

-ra illeszkedik, ezért nem lehet közös pontjuk. Tehát a két egyenes párhuzamos. Ugyanígy láthatjuk be, hogy az

L M

és

K N

egyenesek is párhuzamosak. Vagyis a

K L M N

négyszög paralelogramma, mert két-két szemközti oldala párhuzamos. Ekkor viszont átlói felezik egymást. Legyen

K L M N

átlóinak metszéspontja

P

. Ekkor

P

egyúttal a

H_{3}

négyzet alapú egyenes hasáb

K M

testátlójának a felezőpontja, azaz a hasáb szimmetriaközéppontja, mert a hasáb négy testátlójának felezőpontjai egybeesnek. A

P

-re való középpontos tükrözés ezért

H_{3}

-t önmagába viszi úgy, hogy felcseréli a

(K, M)

és az

(L, N)

pontpárokat. Vagyis felcseréli

H_{3}

-nak a

K L M N

sík alatti és a sík feletti részét. Ezért a két rész egybevágó, s így mindkét rész térfogata

\frac{V_{3}}{2} = \frac{1}{15}

.
A kocka

K L M N

sík alatti részének térfogata tehát

\begin{matrix} V_{1} + \frac{V_{3}}{2} = \frac{1}{5} + \frac{1}{15} = \frac{4}{15}, \end{matrix}

K L M N

sík fölötti rész térfogata pedig

\begin{matrix} V_{2} + \frac{V_{3}}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{15} = \frac{11}{15} . \end{matrix}

Így a két rész térfogatának aránya

4 : 11