Kezdőlap


Feladat:	B.4460	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bingler Arnold , Demeter Dániel , Forrás Bence , Herczeg József , Janzer Olivér , Kabos Eszter , Maga Balázs , Mester Márton , Ódor Gergely , Szabó Attila
Füzet:	2014/január, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Szinusztétel alkalmazása, Ceva-tétel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/május: B.4460

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $α_{1} = H A B ∢$ , $α_{2} = C A H ∢$ , $β_{1} = C B I ∢$ , $β_{2} = I B A ∢$ , $γ_{1} = G C A ∢$ , $γ_{2} = B C G ∢$ . Alkalmazzuk a szinusztételt az $A B H$ és $A C H$ háromszögekre. Ekkor

\begin{matrix} \frac{sin α_{1}}{sin α_{2}} & = \frac{sin (β + 60^{\circ}) \frac{B H}{A H}}{sin (γ + 30^{\circ}) \frac{C H}{A H}} = \\ = \frac{sin (β + 60^{\circ})}{sin (γ + 30^{\circ})} \cdot \frac{1}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Felhasználtuk, hogy

C H

magasságvonal a szabályos háromszögben.

Hasonlóan adódik

C A G

és

C B G

háromszögekre alkalmazva a szinusztételt, hogy

\begin{matrix} \frac{sin γ_{1}}{sin γ_{2}} = \frac{sin (α + 30^{\circ}) \frac{A G}{C G}}{sin (β + 60^{\circ}) \frac{B G}{C G}} = \frac{sin (α + 30^{\circ})}{sin (β + 60^{\circ})} \cdot \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Végül alkalmazzuk a szinusztételt a

B I C

és

B A I

háromszögekre. Itt felhasználjuk, hogy szabályos háromszögben a középpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok szögfelezőkre esnek és egyenlő hosszúak.

\begin{matrix} \frac{sin β_{1}}{sin β_{2}} = \frac{sin (γ + 30^{\circ}) \frac{C I}{B I}}{sin (α + 30^{\circ}) \frac{A I}{B I}} = \frac{sin (γ + 30^{\circ})}{sin (α + 30^{\circ})} . \end{matrix}

Összeszorozva a fentieket,

\begin{matrix} \frac{sin α_{1} sin β_{1} sin γ_{1}}{sin α_{2} sin β_{2} sin γ_{2}} = 1 \end{matrix}

adódik, amely a trigonometrikus Ceva-tétel alapján éppen a bizonyítandóval ekvivalens.

Megjegyzés: Koordináta-geometriai megoldás során vizsgálni kell az egyenesek függőleges helyzetének esetét, ellenkező esetben a dolgozat hiányos.