Feladat:	C.1088	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kovács Márton
Füzet:	2014/január, 18. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Háromszög alapú hasábok, Esetvizsgálat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/szeptember: C.1088

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A hasáb minden élének hossza egész szám, ezért a derékszögű háromszög oldalai pitagoraszi számhármasok. A hasáb egyik lapja 13 területű. Belátjuk, hogy ez a lap nem lehet derékszögű háromszög. Ha az lenne, akkor a derékszögű háromszöget kiegészítve egy, a két befogóval egyenlő hosszúságú oldalú téglalappá, e téglalap területe 26 volna. Ám 26 csak a 2 és a 13 vagy az 1 és a 26 egész számok szorzatára bontható föl, és sem az 1, sem a 2 nem tagja pitagoraszi számhármasnak. Tehát a 13 területű lap egyike a palástot alkotó lapoknak. $13=13\cdot 1$, és a 13 tagja pitagoraszi számhármasnak. Így a 13 az alaplap egyik éle, az 1 pedig a hasáb magassága. Ez azt jelenti, hogy a derékszögű háromszög egyik oldala 13. Ha egy palástot alkotó téglalap területe 30, akkor ‐ mivel a hasáb magassága 1 ‐ a derékszögű háromszög egyik oldala 30. A 30 és a 13 viszont nem egészíthető ki pitagoraszi számhármassá. Tehát a derékszögű háromszög területe 30. Átfogója 13, mert 13 nem osztója a 30-nak. Csak egy olyan pitagoraszi számhármas létezik, ahol az átfogó 13, ez az 5; 12; 13 számhármas, mely ki is elégíti a feltételeket ($5\cdot \frac{12}{2}=30)$. Bár a magasság és a derékszögű háromszög területének ismeretében eddig is ki tudtuk volna számolni a hasáb térfogatát, most meg is tesszük: $1\cdot 30$ meglepő módon 30-cal egyenlő. Tehát a hasáb térfogata 30.