Feladat:	C.1077	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2013/március, 148. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Háromszög területe, Százalékszámítás, Háromszögek hasonlósága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/április: C.1077

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A $B$ ponton keresztül húzzunk párhuzamost az $AC$ oldallal, messe ez az $ED$ oldalt a $G$ pontban. Az $EFC$ háromszög egybevágó a $GFB$ háromszöggel, ugyanis megegyeznek két szögben: $CEF\sphericalangle =FGB\sphericalangle$ váltószögek, $EFC\sphericalangle =BFG\sphericalangle$ csúcsszögek, és $CF=FB$. Így     $\begin{array}{c}{\displaystyle BG=EC=x=\frac{1}{4}AC\mathrm{.}}\end{array}$ Az $ADE$ háromszög hasonló a $BDG$ háromszöghöz, a hasonlóság aránya $3:1$, ($AE=3x$, $BG=x$). $AD=3BD=3y$, és innen $AB=2y$. Az $ADE$ háromszög területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1=\frac{3x\cdot 3y\cdot \text{sin}\alpha }{2}\left(\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> az <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> csúcsnál lévő szög}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az $ABC$ háromszög területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2=\frac{4x\cdot 2y\cdot \text{sin}\alpha }{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{t_1}{t_2}=\frac{9xy}{8xy}=\frac{9}{8}=1\mathrm{,}125.}\end{array}$ Vagyis az $ADC$ háromszög kerülete 112,5%-a az $ABC$ háromszög területének.