Feladat:	B.4346	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nemecskó István
Füzet:	2013/február, 84. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai szerkesztések, Terület, felszín, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/március: B.4346

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A feladat során többször kihasználjuk a következőket: (1) Ha egy $ABCD$ trapéz párhuzamos oldalai $AB$ és $CD$, átlóinak metszéspontja pedig $O$, akkor az $OBC$ és $OAD$ háromszögek területe egyenlő. (2) A háromszög területét felezi a súlyvonal. A fentiek felhasználásával a sokszög területét felező töröttvonalból szerkesztünk felező egyenest (ábra). A szerkesztés a következő: húzzunk párhuzamost az $AD$ átlóval $C$-n keresztül ($c$), az $AB$ oldallal $D$-n keresztül ($d$) és a $DC$ oldallal $A$-n keresztül ($a$). Legyen rendre $E$ a $c$ és $d$, valamint $F$ az $a$ és $c$ egyenesek metszéspontja, legyen továbbá $I$ az $AD$, valamint $H$ a $CG$ szakasz felezőpontja. A párhuzamosság miatt a $DCE$ háromszög területe megegyezik az $AGF$ területével.         A $HI$ szakasz a $DAGC$ trapéznak középvonala, ezért felezi annak területét. A $BH$ súlyvonal pedig a $CGB$ háromszög területét felezi. Próbáljuk meg az $IHB$ töröttvonalat helyettesíteni egy $I$-n átmenő egyenessel. Ezt a következőképpen tehetjük meg: Húzzunk párhuzamost $IB$-vel $H$-n keresztül, messe ez a $CB$ szakaszt $L$-ben. Az (1) trapéz szabály miatt $IL$ felezi az $ABCD$ négyszög területét. Jelölje az ötszög ötödik csúcsát $Z$. A $ZI$ súlyvonal nyilván felezi az $ADZ$ háromszög területét. Ezúttal próbáljunk az $ABCDZ$ ötszög területét felező $ZIL$ töröttvonal helyett egy olyan egyenest szerkeszteni, amely felezi az ötszög területét és átmegy $Z$-n. Ezt az előbbihez hasonlóan tehetjük meg: párhuzamost húzunk az $I$ ponton keresztül $ZL$-lel, messe ez $BC$-t a $K$ pontban; ekkor a $ZK$ szakasz felezi az ötszög területét.