A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A feladat során többször kihasználjuk a következőket:
(1) | Ha egy trapéz párhuzamos oldalai és , átlóinak metszéspontja pedig , akkor az és háromszögek területe egyenlő. |
(2) | A háromszög területét felezi a súlyvonal. |
A fentiek felhasználásával a sokszög területét felező töröttvonalból szerkesztünk felező egyenest (ábra). A szerkesztés a következő: húzzunk párhuzamost az átlóval -n keresztül (), az oldallal -n keresztül () és a oldallal -n keresztül (). Legyen rendre a és , valamint az és egyenesek metszéspontja, legyen továbbá az , valamint a szakasz felezőpontja. A párhuzamosság miatt a háromszög területe megegyezik az területével.
A szakasz a trapéznak középvonala, ezért felezi annak területét. A súlyvonal pedig a háromszög területét felezi. Próbáljuk meg az töröttvonalat helyettesíteni egy -n átmenő egyenessel. Ezt a következőképpen tehetjük meg: Húzzunk párhuzamost -vel -n keresztül, messe ez a szakaszt -ben. Az (1) trapéz szabály miatt felezi az négyszög területét. Jelölje az ötszög ötödik csúcsát . A súlyvonal nyilván felezi az háromszög területét. Ezúttal próbáljunk az ötszög területét felező töröttvonal helyett egy olyan egyenest szerkeszteni, amely felezi az ötszög területét és átmegy -n. Ezt az előbbihez hasonlóan tehetjük meg: párhuzamost húzunk az ponton keresztül -lel, messe ez -t a pontban; ekkor a szakasz felezi az ötszög területét.
|
|