Feladat:	B.4358	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrahám Péter ,  Boér Lehel ,  Bősze Zsuzsanna ,  Dudás Zsolt ,  Fonyó Viktória ,  Hajnal Máté ,  Homonnay Bálint ,  Maga Balázs ,  Máthé László ,  Perjési Gábor ,  Sagmeister Ádám ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Szilágyi Gergely Bence ,  Tossenberger Tamás ,  Tran Trong Hoang Tuan ,  Weisz Gellért ,  Zahemszky Péter ,  Zsakó András
Füzet:	2013/január, 27 - 28. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenletek, Inverz függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/április: B.4358

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ennek az egyenletnek nem lehet $x\ge \sqrt[3]{92}$ megoldása, mivel akkor mindkét szorzat nemnegatív, és legalább az egyik pozitív. Az is könnyen látható, hogy $\sqrt[3]{x+11}\ne 0$ és $x^3-92\ne 0$, ezért ezekkel oszthatunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{11x^3+80}{92-x^3}=\frac{\sqrt[3]{92x-80}}{\sqrt[3]{x+11}}\mathrm{.}}\end{array}$ Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{\sqrt[3]{92x-80}}{\sqrt[3]{x+11}}\mathrm{,}\text{ekkor}{y}^3=\frac{92x-80}{x+11}\mathrm{,}\text{ahonnan}x=\frac{11y^3+80}{92-y^3}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát a $\begin{array}{c}{\displaystyle g:x\mapsto \frac{\sqrt[3]{92x-80}}{\sqrt[3]{x+11}}}\end{array}$ függvény inverze az $\begin{array}{c}{\displaystyle f:x\mapsto \frac{11x^3+80}{92-x^3}}\end{array}$ függvénynek. Az $f\left(x\right)$ függvény szigorúan monoton nő a $\left(-\infty \mathrm{,}\sqrt[3]{92}\right)$ intervallumon, hiszen ott a számláló szigorúan monoton nő, a nevező pedig pozitív és szigorúan monoton fogy. Az is egyszerűen belátható, hogy a $\left(-\infty \mathrm{,}\sqrt[3]{92}\right)$-n értelmezett $f$ értékkészlete a valós számok halmaza. Ebből következik, hogy a teljes valós számhalmazon értelmezett és ott szigorúan monoton növő $g$ függvénynek pedig $\left(-\infty \mathrm{,}\sqrt[3]{92}\right)$ az értékkészlete. Ha $a$ az egyenletünk megoldása, azaz $f\left(a\right)=g\left(a\right)=b$ teljesül valamilyen $b$-re, akkor $a<b$ esetén $b=f\left(a\right)<f\left(b\right)=f\left(g\left(a\right)\right)=a$ következne, $a>b$ esetén pedig $b=f\left(a\right)>f\left(b\right)=f\left(g\left(a\right)\right)=a$; mindkettő ellentmondás. Az egyenletnek ezért $a$ pontosan akkor megoldása, ha $f\left(a\right)=a$1, azaz ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{11a^3+80}{92-a^3}}& {\displaystyle =a\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^4+11a^3-92a+80}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ A bal oldalt szorzattá alakíthatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a^2-3a+2\right)\left(a^2+14a+40\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ tehát az egyenlet megoldásai $-10$, $-4$, $1$ és $2$. 1Ld. Ábrahám Gábor: Az $f^{-1}\left(x\right)=f\left(x\right)$ típusú egyenletekről, avagy az írástudók felelőssége és egyéb érdekességek, KöMaL (2010/9), 514‐527. o.