Feladat:	B.4337	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Radó Hanna ,  Sándor Áron Endre
Füzet:	2012/november, 476 - 477. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/február: B.4337

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelölje $a$ és $a+1$ azt a két gyököt, amelyek különbsége $1$, ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3-7a+p=0\text{és}{\left(a+1\right)}^3-7a-7+p=0.}\end{array}$ Vonjuk ki egymásból a két egyenletet. A következőt kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 3a^2+3a-6}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2+a-2}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \end{array}}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_1=\mathrm{1,}{a}_2=-2.}\hfill \end{array}}$ Mivel tudjuk $a$-t, ezért innen már ki tudjuk számolni $p$-t is: ${\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle \text{1. eset:}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 1-7+p}\hfill & \hfill {\displaystyle =\mathrm{0,}}& {\displaystyle p}\hfill & {\displaystyle =6.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{2. eset:}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle -8+14+p}\hfill & \hfill {\displaystyle =\mathrm{0,}}& {\displaystyle p}\hfill & {\displaystyle =-6.}\hfill \end{array}}$ Könnyen ellenőrizhető, hogy $p$ mindkét értéke valóban megoldása a feladatnak.   II. megoldás. Ha $a$ és $a+1$ valós gyökök, akkor $\left(x-a\right)\left(x-a-1\right)$ kiemelhető az $x^3-7x+p$ polinomból: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^3-7x+p}& {\displaystyle =\left(x-a\right)\left(x-a-1\right)\left(x-b\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =x^3-\left(2a+b+1\right)x^2+\left(a^2+2ab+a+b\right)x-\left(a^{2}b+ab\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az $x$-hatványok együtthatóinak összevetéséből kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 2a+b+1=\mathrm{0,}{a}^2+2ab+a+b=-\mathrm{7,}-\left(a^{2}b+ab\right)=-\left(a^2+a\right)\cdot b=p\mathrm{.}}\end{array}$ Az első egyenletből kifejezzük $b$-t és beírjuk a második egyenletbe: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2-4a^2-2a+a-2a-1=-\mathrm{7,}}\end{array}$ innen $-3a^2-3a=-6$, $a\cdot \left(a+1\right)=2$, ami másodfokú egyenlet $a$-ra, megoldásai $a_1=1$ és $a_2=-2$. Ezeket visszaírva az egyik ágon $\begin{array}{c}{\displaystyle b_1=-2a_1-1=-3\text{és}{p}_1=-\left(a^2+a\right)\cdot b=6.}\end{array}$ Ekkor az egyenlet gyökei 1, 2, $-3$. A másik ágon $\begin{array}{c}{\displaystyle b_2=-2a_2-1=\mathrm{3,}{p}_2=-2\cdot 3=-6.}\end{array}$ Ekkor az egyenlet gyökei $-2$, $-1$, 3. Tehát $p$ megfelelő értékei $-6$ és $6$.