Feladat:	B.4326	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dolgos Tamás
Füzet:	2012/október, 416. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Feladat, Számelmélet, Teljes indukció módszere
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/január: B.4326

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha $a=b=0$, akkor például $c=d=1$ megfelelő választás. A továbbiakban feltesszük, hogy $a$ és $b$ közül legalább az egyik nem 0, ekkor jelölje $d$ a két szám legnagyobb közös osztóját. Legyen $a=da\text{'}$, $b=db\text{'}$, ahol $a\text{'}$ és $b\text{'}$ egymáshoz relatív prím egész számok. Felhasználjuk azt a jól ismert számelméleti összefüggést, amely szerint az $\begin{array}{c}{\displaystyle ux+vy=m\left(u\mathrm{,}v\mathrm{,}m\in \text{Z}\right)}\end{array}$ diofantikus egyenletnek pontosan akkor van megoldása, ha $\left(u\mathrm{,}v\right)\mid m$. Ezt az állítást a $b\text{'}x-a\text{'}y=1$ egyenletre alkalmazva kapjuk, hogy léteznek olyan $c$ és $d$ egész számok, amelyekre $b\text{'}c-a\text{'}d=1$. Ezzel a választással $an+c$ és $bn+d$ az $n$ tetszőleges egész értéke esetén relatív prímek, hiszen az alábbi összefüggésből kiderül, hogy minden közös osztójuk osztja az 1-et is: $\begin{array}{c}{\displaystyle b\text{'}\left(an+c\right)-a\text{'}\left(bn+d\right)=\left(b\text{'}da\text{'}-a\text{'}db\text{'}\right)n+\left(b\text{'}c-a\text{'}d\right)=1.}\end{array}$ Ezzel megmutattuk, hogy léteznek a feladat feltételét kielégítő $c$ és $d$ egész számok.