Feladat:	B.4393	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bősze Zsuzsanna
Füzet:	2012/május, 286 - 287. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Feladat, Logikai feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/november: B.4393

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a pontokat az 1. ábrán látható módon $A\mathrm{,}B\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}J$-vel. Mivel maga az $ABC$ háromszög szabályos, legalább az egyik csúcsát el kell hagynunk.     1. ábra   A csúcsok szimmetrikus szerepe miatt feltehető, hogy a $C$ csúcsot hagyjuk el. Ha más pontot nem hagynánk el, akkor a megmaradó pontok három olyan szabályos háromszöget alkotnának, melyeknek nincs közös csúcsuk ($ADI$, $EBF$ és $HJG$). Tehát e háromszögek közül mindegyiknek legalább egy csúcsát el kell hagynunk ahhoz, hogy a feltételeknek megfelelő ponthalmazt kapjunk. Vagyis legalább $1+3=4$ pontot el kell hagynunk, azaz legfeljebb $10-4=6$ pontot tarthatunk meg.     2. ábra   Megmutatjuk, hogy ezt meg is tudjuk tenni. Hagyjuk el a $C$, $D$, $E$ és $J$ pontokat. Ekkor a maradék hat pont közül három-három kollineáris (2. ábra). Ha közülük valamelyik három szabályos háromszöget alkotna, akkor annak két csúcsáról (ismét a pontok szimmetrikus szerepe miatt) feltehetnénk, hogy az $\left\{A\mathrm{,}I\mathrm{,}H\right\}$ ponthalmazba tartozik. Viszont ha egy szabályos háromszög egyik oldala $AI$, $AH$ vagy $IH$, akkor harmadik csúcsa a vizsgált pontok közül rendre csak $D$, $E$, illetve $J$ lehetne, de ezeket a pontokat mind elhagytuk. Tehát legfeljebb hat pontot tarthatunk meg a tízből úgy, hogy közülük semelyik három ne alkosson szabályos háromszöget.   Megjegyzés. Megmutatható, hogy ha hat pontot megtartunk, akkor azok közül csak akkor nem választhatók ki egy szabályos háromszög csúcsai, ha a pontok a 2. ábrán látható módon helyezkednek el, azaz közülük három-három az eredeti szabályos háromszög egy-egy oldalán van és különbözik e két oldal metszéspontjától.