Feladat:	B.4394	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fehér Zsombor
Füzet:	2012/április, 225. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Fibonacci-sorozat, Oszthatóság, Feladat, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/november: B.4394

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A Fibonacci-sorozat definíciójából következően $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{i+3}=F_{i+2}+F_{i+1}\mathrm{,}\text{valamint}{F}_i=F_{i+2}-F_{i+1}\mathrm{,}}\end{array}$ ezért: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_i{F}_{i+3}=\left(F_{i+2}-F_{i+1}\right)\left(F_{i+2}+F_{i+1}\right)=F_{i+2}^2-F_{i+1}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt behelyettesítve teleszkópikus összeget kapunk: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle {\sum }_{i=k}^m{F}_i{F}_{i+3}}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle F_k{F}_{k+3}+F_{k+1}{F}_{k+4}+F_{k+2}{F}_{k+5}\text{...}+F_{m-1}{F}_{m+2}+F_m{F}_{m+3}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle F_{k+2}^2-F_{k+1}^2+F_{k+3}^2-F_{k+2}^2+F_{k+4}^2-F_{k+3}^2+\text{...}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +F_{m+1}^2-F_m^2+F_{m+2}^2-F_{m+1}^2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle F_{m+2}^2-F_{k+1}^2=\left(F_{m+2}+F_{k+1}\right)\left(F_{m+2}-F_{k+1}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $1<F_{m+2}+F_{k+1}$ nyilvánvalóan igaz, továbbá az $1\le k\le m-1$ feltétel alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{m+2}-F_{k+1}\ge F_{k+3}-F_{k+1}=F_{k+2}\ge F_3=\mathrm{2,}}\end{array}$ így $1<F_{m+2}-F_{k+1}$ is teljesül. Tehát a feladatban szereplő összeg egyenlő az $\left(F_{m+2}+F_{k+1}\right)\left(F_{m+2}-F_{k+1}\right)$ szorzattal, amelynek mindkét tényezője 1-nél nagyobb egész szám, azaz valóban összetett számot kapunk.