Feladat:	B.4353	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bősze Zsuzsanna
Füzet:	2012/március, 146 - 147. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Tizes alapú számrendszer, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/április: B.4353

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A tízes számrendszerben felírt egész számok 11-es oszthatósága a számok számjegyeitől függ. Egy szám akkor osztható 11-gyel, ha jegyeit váltakozó előjellel összeadva a kapott összeg is osztható 11-gyel. A szám 11-es maradékát pedig úgy kapjuk meg, hogy a szám jegyeit az egyes helyiértéktől indulva váltakozó előjellel rendre összeadjuk, majd ennek az összegnek vesszük a 11-es maradékát. Ezek alapján két esetet különböztetünk meg. $\left(i\right)$ Ha az $A$-nak páratlan sok jegye van, akkor a $B$ szám felírása, azaz $A$ jegyeinek fordított sorrendben történő felírása nem változtatja meg a 11-es maradékot, mivel azok a jegyek, amelyek ,,páratlanadik'' helyen voltak, továbbra is ott lesznek. A középső számjegy marad a helyén, a többi pedig erre szimmetrikusan fog elmozdulni, a váltakozó előjelű összeadáskor a számjegyeknek megmarad az előjelük. Az $A$ és a $B$ 11-es maradéka ugyanannyi lesz, tehát ebben az esetben $A-B$ osztható 11-gyel. $\left(ii\right)$ Ha az $A$-nak páros sok jegye van, akkor a jegyek fordított sorrendben történő felírása megváltoztatja minden számjegy előjelét, a páratlanadik helyen álló számjegyek páros helyre kerülnek és fordítva. Ennek az lesz a következménye, hogy $A+B$ lesz osztható 11-gyel. Természetesen, ha $A$ osztható 11-gyel, akkor $B$ is, így $A+B$ és $A-B$ is osztható 11-gyel.