Feladat:	B.4343	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ngo Tandai
Füzet:	2012/március, 144. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Nevezetes azonosságok, Paraméteres egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/március: B.4343

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Ha $a^3+b^3=1$ és $a$, $b$ pozitív számok, akkor $a\mathrm{,}b<1$; ellenkező esetben már az egyik köbe is legalább 1 lenne. Rendezzük át az egyenlőtlenség bal oldalát és használjuk fel a feltételt is: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a^2+b^2+\left(a-1\right)\left(b-1\right)-1}& {\displaystyle >\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2+b^2+\left(a-1\right)\left(b-1\right)-a^3-b^3}& {\displaystyle >\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+\left(a-1\right)\left(b-1\right)}& {\displaystyle >0.}\hfill \end{array}}$ Látjuk, hogy $0<a\mathrm{,}b<1$ miatt $a^2\left(1-a\right)$ és $b^2\left(1-b\right)$ pozitívak, míg $\left(a-1\right)$ és $\left(b-1\right)$ negatívak, tehát szorzatuk szintén pozitív. A bal oldal három pozitív tag összege, az állítás igaz.   II. megoldás. Az $a$ és $b$ pozitív számok harmadik hatványainak összege 1, ezért mindkét szám 1-nél kisebb. Tudjuk tehát, hogy $a>a^2>a^3$ és $b>b^2>b^3$. Szorozzuk be az egyenlőtlenséget 2-vel és a bal oldalról mutassuk meg, hogy pozitív. Közben még egyszer felhasználjuk a feltételt is. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2a^2+2ab+2b^2-2a-2b>a^2+a^3+2ab+b^2+b^3-2a-2b=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =a^2+b^2+2ab-2a-2b+1={\left(a+b-1\right)}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tudjuk, hogy $a+b>a^3+b^3=1$, tehát ${\left(a+b-1\right)}^2>0$.