Feladat:	C.1068	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szabó Alexandra
Füzet:	2012/március, 140 - 141. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Kör geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/február: C.1068

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Tudjuk, hogy a körcikk területe felírható $\frac{r^2\phi }{2}$ alakban, ahol $r$ a körcikket alkotó kör sugara, $\phi$ a körcikkhez tartozó középponti szög radiánokban mérve. Az 1, 2, 3-mal jelzett I-es típusú körcikk középponti szöge legyen $\alpha$, a 2, 3, 4-gyel jelzett II-es típusú körcikk szöge $\beta$. A koncentrikus körök sugarai $r_1<r_2<r_3$. Írjuk fel az azonos számmal jelzett egyenlő területű körszeletek területét I-ből, illetve II-ből. A 2-vel jelzett területekre: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2=\frac{r_1^2\beta }{2}=\frac{r_2^2\alpha }{2}-\frac{r_1^2\alpha }{2}=\frac{\alpha \left(r_2^2-r_1^2\right)}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Egyszerűsítve kapjuk, hogy a) $\begin{array}{c}{\displaystyle r_1^2\beta =\alpha \left(r_2^2-r_1^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A 3-mal jelzett területekre: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_3=\frac{r_2^2\beta }{2}-\frac{r_1^2\beta }{2}=\frac{r_3^2\alpha }{2}-\frac{r_2^2\alpha }{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen b) $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta \left(r_2^2-r_1^2\right)=\alpha \left(r_3^2-r_2^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Továbbá tudjuk, hogy a 2-vel jelzett körszelet területe fele a 3-mal jelzett idom területének, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{r_2^2\beta }{2}-\frac{r_1^2\beta }{2}=2\cdot \frac{r_1^2\beta }{2}=r_1^2\beta \mathrm{,}}\\ {\displaystyle }\end{array}$ c) $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta \left(r_2^2-r_1^2\right)=2r_1^2\beta \mathrm{.}}\end{array}$ Ha az $a)$ egyenletből kifejezett $r_1^2\beta =\alpha \left(r_2^2-r_1^2\right)$ értéket beírjuk a $c)$ egyenlet jobb oldalába kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta \left(r_2^2-r_1^2\right)=2\alpha \left(r_2^2-r_1^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ és innen $\beta =2\alpha$. Írjuk fel a $t_4$ és $t_1$ területek arányát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{t_4}{t_1}=\frac{\beta \left(r_3^2-r_2^2\right)}{\alpha r_1^2};}\end{array}$ $\beta$ helyébe az előbb kapott $2\alpha$-t helyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{t_4}{t_1}=\frac{2\alpha \left(r_3^2-r_2^2\right)}{\alpha r_1^2}\mathrm{.}}\end{array}$ A $b)$ egyenletből: $\begin{array}{c}{\displaystyle r_3^2-r_2^2=\frac{\beta \left(r_2^2-r_1^2\right)}{\alpha }=\frac{2\alpha \left(r_2^2-r_1^2\right)}{\alpha }=2\left(r_2^2-r_1^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A $c)$ egyenletből $r_2^2-r_1^2=2r_1^2$. Ezeket helyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{t_4}{t_1}=\frac{4\left(r_2^2-r_1^2\right)}{r_1^2}=\frac{8r_1^2}{r_1^2}=\mathrm{8,}}\end{array}$ vagyis a $t_4$ területe 8-szorosa a $t_1$ területének.