Feladat:	B.4365	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kabos Eszter
Füzet:	2012/február, 90 - 91. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Prímszámok, Oszthatóság, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/május: B.4365

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A 2-hatványok 7-tel való osztási maradékai 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1 és így tovább, periodikusan ismétlődnek. A feladatban három egymást követő 2-hatvány szerepel, és mindegyikből levontunk 1-et, így a 7-tel való osztási maradékaik biztosan 0, 1, 3, valamilyen sorrendben. Tehát van köztük egy 7-tel osztható szám, de az nem lehet a $2^{n+1}-1$, tehát a másik kettő közül valamelyik. Ezekről tudjuk, hogy prímszámok. Ha egy prímszám héttel osztható, akkor az csak a 7 lehet. Így két eset lehetséges: $2^n-1=7$ vagy $2^{n+2}-1=7$. Az első esetben $n=3$, amire 7 prímszám, $2^5-1=31$ prímszám és $2^4-1=15$ nem osztható 7-tel, így $n=3$ jó megoldás. A második esetben $n=1$. Ekkor $2^1-1=1$, ami nem prímszám, tehát ez nem megoldás. Így az egyetlen megoldás $n=3$.