Feladat:	C.1061	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szigeti Bertalan György
Füzet:	2012/február, 82 - 83. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Háromszögek geometriája, Síkgeometriai szerkesztések, Thalesz tétel és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/január: C.1061

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás.   Készítsünk vázlatot (1. ábra). Legyen az $ABC$ háromszögben $\alpha$ hegyesszög, az $AB$ oldal felezőpontja $F$, az $AC$ oldalhoz tartozó magasság talppontja $T$. Mivel az $\alpha$ hegyesszög, $T$ az $AC$ oldal belső pontja. Az $ATB$ háromszög derékszögű, a $T$ pont rajta van az $AB$ szakasz Thalész-körén. Ebből következik az alábbi szakaszok egyenlősége: $\begin{array}{c}{\displaystyle AF=FB=FT=r\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $r$ a Thalész-kör sugara.   1. ábra   Az $ATF$ háromszög egyenlő szárú, amiért $FAT\sphericalangle =ATF\sphericalangle =\alpha$. E háromszöget az adott adatok ismeretében meg tudjuk szerkeszteni. A háromszög $B$ csúcsát megkapjuk, ha az $A$ pontot tükrözzük az $F$ pontra. A $C$ pontot nem tudjuk egyértelműen meghatározni, csak annyit tudunk, hogy rajta van az $AT$ félegyenesen, s annak bármely $T$-n túli pontja lehet. A feladatnak végtelen sok megoldása van. Ha ${180}^{\circ }>\alpha >{90}^{\circ }$, a magasság $T$ talppontja a $CA$ félegyenesen lesz, és $\begin{array}{c}{\displaystyle TAF\sphericalangle =ATF\sphericalangle ={180}^{\circ }-\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Az $AFT$ egyenlő szárú háromszöget most is meg tudjuk szerkeszteni. A háromszög $B$ csúcsát az előzőekhez hasonlóan kapjuk meg, és a $C$ csúcs a $TA$ félegyenes bármely $A$-n túli pontja lehet. Most is végtelen sok megoldása van a feladatnak (2. ábra). 2. ábra   3. ábra Végül, ha $\alpha ={90}^{\circ }$, akkor a $B$ a $T$ tükörképe $F$-re; és $C$ az $A$-ban $AB$-re állított merőleges bármely pontja lehet (3. ábra).