A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyenek az háromszög szögei , és , magasságvonalainak talppontjai , és , a háromszög csúcsain átmenő, a szemközti oldallal párhuzamos egyenesek metszéspontjai pedig , és (1. ábra). Az , és négyszögek parallelogrammák, mert szemközti oldalaik párhuzamosak. Ezért , és a háromszög oldalfelező pontjai, tehát a , és háromszögek egymás eltoltjai és mindegyikük egybevágó az háromszöggel is.
1. ábra A húrnégyszög, mert -nél és -nél lévő szögei derékszögek. Ezért . Ennek a szögnek csúcsszöge, tehát Az parallelogrammában , vagyis a négyszög húrnégyszög, mert szemközti szögeinek összege . Tehát egyúttal a háromszög köré írható körének is a középpontja. Ugyanígy kapjuk, hogy az , pedig az háromszög köré írható körének a középpontja. Mivel a , és háromszögek egymás eltoltjai, az egy egyenesre eső oldalaiktól a köré írható köreik középpontjai egyenlő távolságra vannak. Vagyis az háromszög oldalai párhuzamosak a háromszög megfelelő oldalaival, s így a párhuzamosság tranzitivitása miatt az háromszög megfelelő oldalaival is. Legyen az és egyenesek metszéspontja . (Ez a metszéspont létezik, mert és az egyenes két különböző oldalán helyezkedik el.) Ekkor az és háromszögek középpontosan hasonlóak a pontra nézve, mert és valamint és oldalaik páronként egy egyenesre esnek, továbbá és párhuzamosak. Ha az a középpontú hasonlóság, mely a két háromszöget egymásba viszi, akkor az egyenes -képe az -en átmenő, -vel párhuzamos egyenes, azaz lesz, s ugyanígy belátható, hogy képe . Ezért -képe . Ekkor viszont és egy egyenesre kell hogy essen. Vagyis az , és egyenesek mindegyike átmegy a ponton, amivel a feladat állítását beláttuk. II. megoldás. Ismert, hogy az háromszög Feuerbach-köre, melyet úgy kapunk, hogy a háromszög köré írható középpontú kört az pontból felére kicsinyítjük, áthalad a oldal felezőpontján, az szakasz felezőpontján és az magasságvonal talppontján (2. ábra).
Mivel az háromszög derékszögű, a Feuerbach-kör középpontja, mely az szakasz felezőpontja, egybeesik az szakasz felezőpontjával, tehát az szakasz az szakasznak -re vonatkozó tükörképe. Ha az pontot tükrözzük a pontra, vagy ami ugyanazt jelenti, a egyenesre, a tükörkép a körön van, mert mint az I. megoldásban láttuk, Ebből következik, hogy a háromszög köré írható köre megegyezik a kör egyenesre vonatkozó tükörképével, tehát az pont éppen az pontnak -ra vonatkozó tükörképe. Így hát az is igaz, hogy az szakasz az szakasznak -re vonatkozó tükörképe. Ez azt jelenti, hogy az szakasz felezőpontja éppen az pont. Szimmetria okok miatt ugyanez igaz a és szakaszokra is. Tehát az , és szakaszok nemcsak egy ponton mennek át, hanem közös a felezőpontjuk, s az megegyezik az háromszög Feuerbach-körének középpontjával. |
|