Feladat: B.4270 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Jernei Tamás 
Füzet: 2011/május, 279 - 280. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Húrnégyszögek, Alakzatok köré írt kör, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/április: B.4270

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A megoldásban többször fogjuk használni Ptolemaiosz tételét. Eszerint bármely húrnégyszög átlóinak szorzata egyenlő a két szemközti oldalpár szorzatainak összegével. (A tétel bizonyítása megtalálható például a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetében, 1259. feladat.)
Először írjuk fel a tételt a BCEF húrnégyszögre, majd a kapott egyenlőségeket szorozzuk meg AD-vel:
BECF=CEBF+BCEF,ADBECF=ADBFCE++ADBCEF.(1)

 
 
Az ABDF négyszög is húrnégyszög, ezért
ADBF=ABDF+AFBD.
Ezt (1)-be helyettesítve, majd rendezve kapjuk, hogy
ADBECF=CE(ABDF+AFBD)+ADBCEF=(2)=AFBDCE+ABCEDF+ADBCEF.

A BCDE és a CDEF húrnégyszögekben felírva Ptolemaiosz tételét
BDCE=BCDE+BECD,CEDF=CFDE+CDEF.
Ezeket behelyettesítve (2)-be, majd rendezve kapjuk, hogy
ADBECF=AF(BCDE+BECD)+AB(CFDE+CDEF)++ADBCEF==AFBCDE+AFBECD+ABCFDE++ABCDEF+ADBCEF,
ahonnan az állítás már közvetlenül leolvasható.