Feladat:	B.4179	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gudenus Balázs
Füzet:	2011/május, 278 - 279. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kör egyenlete, Parabola egyenlete, Mértani közép, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/április: B.4179

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól ($F$, fókuszpont) és egy arra nem illeszkedő adott egyenestől (vezéregyenes) egyenlő távolságra vannak. Húzzunk érintőt a körhöz a $D$ pontban, melyet jelöljön $v$. Mivel $FC=DC$, a parabola definíciója szerint $v$ a vezéregyenes.     A feladat állítása szerint a következő bizonyítandó: $FD\cdot FE=D{E}^2$. Az $FBD$ háromszög a Thalész-tétel miatt derékszögű, így alkalmazva rá a befogótételt: $F{B}^2=FD\cdot FE$. A két egyenlet megfeleltethető egymásnak, ezután már csak a következőt kell belátnunk: $DE=FB$. Ehhez bocsássunk a $B$ pontból merőlegest a vezéregyenesre, így kapjuk a $G$ pontot. Tudjuk, hogy a parabola minden pontja egyenlő távolságra van a fókusztól és a vezéregyenestől, ezért $FB=BG$. Tudjuk még, hogy $BG=DE$, mivel egyazon téglalap szemközti oldalai. Tehát: $FB=BG=DE$, és így $DE=FB$. Ezzel bizonyítottuk az állítást.