Kezdőlap


Feladat:	C.1039	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Najbauer Eszter
Füzet:	2011/május, 275 - 277. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Köréírt alakzatok, Térfogat, Gömb és részei, Tetraéderek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: C.1039

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a nagy gömb középpontja

O

, a kis gömböké

O_{1}

O_{2}

O_{3}

O_{4}

. A négy középpont egy szabályos tetraéder négy csúcsa (1. ábra). A tetraéder köré gömb írható és nyilván ezen gömb középpontja egybeesik a nagy gömb

O

középpontjával.

1. ábra

2. ábra

Jelöljük a tetraéder köré írt gömb sugarát

r

-rel, a nagy gömb sugarát

R

-rel. Tekintsük a tetraéder

O_{1} O_{2} O_{3}

háromszögét alapnak (2. ábra). A háromszög oldalainak hossza 2 egység. Az

O_{4}

csúcs merőleges vetülete az alapra

P

. A tetraéder köré írt gömb

O

középpontja illeszkedik az

O_{4} P

szakaszra.
Az

O_{2} P O_{4}

derékszögű háromszögben

O_{4} O_{2} = 2

\begin{matrix} P O_{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 \sqrt[]{3}}{2} = \frac{2 \sqrt[]{3}}{3}, \end{matrix}

mivel

O_{2} P

a 2 egység oldalú szabályos háromszögben súlyvonal (és egyben magasságvonal) kétharmada. Az

O_{2} P O_{4}

háromszögben felírhatjuk a Pitagorasz-tételt a tetraéder

O_{4} P

magasságára:

\begin{matrix} O_{4} P^{2} = O_{4} O_{2}^{2} - P O_{2}^{2}, azaz O_{4} P = \sqrt[]{2^{2} - {(\frac{2 \sqrt[]{3}}{3})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{8}{3}} = \frac{2 \sqrt[]{6}}{3} . \end{matrix}

O P O_{2}

háromszögre is írjuk fel a Pitagorasz-tételt az

O O_{2} = r

O P = \frac{2 \sqrt[]{6}}{3} - r

, és

P O_{2} = \frac{2 \sqrt[]{3}}{3}

oldalakra:

\begin{matrix} r^{2} = {(\frac{2 \sqrt[]{6}}{3} - r)}^{2} + {(\frac{2 \sqrt[]{3}}{3})}^{2}, \end{matrix}

innen

r = \frac{\sqrt[]{6}}{2}

. A nagy gömb sugara pedig

\begin{matrix} R = r + 1 = \frac{\sqrt[]{6}}{2} + 1 = \frac{\sqrt[]{6} + 2}{2} . \end{matrix}

A nagy gömb térfogata:

\begin{matrix} V_{1} = \frac{4}{3} π {(\frac{\sqrt[]{6} + 2}{2})}^{3} . \end{matrix}

A négy, egységsugarú gömb együttes térfogata:

\begin{matrix} V_{2} = 4 \cdot \frac{4 π}{3} \cdot 1^{3} = \frac{16 π}{3} . \end{matrix}

A térfogatok aránya:

\begin{matrix} \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{\frac{16 π}{3}}{\frac{4 π}{3} (\frac{\sqrt[]{6} + 2}{2})^{3}} = \frac{4}{\frac{{(\sqrt[]{6} + 2)}^{3}}{8}} = \frac{32}{{(\sqrt[]{6} + 2)}^{3}} \approx 0, 36. \end{matrix}