Feladat:	B.4313	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czipó Bence
Füzet:	2011/április, 224 - 225. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Logikai feladatok, Esetvizsgálat, Kombinatorikus geometria síkban
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: B.4313

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel mindenki kap legalább egy darab csokoládét és $A$ kevesebbet kap mint $B$, aki kevesebbet kap mint $C$, $\text{...}$, aki kevesebbet kap mint $F$, legalább $1+2+3+4+5+6=21$ csokit osztottak szét. Nevezzük ezt minimum elosztásnak. Ezt minden elosztásnál meg kell kapniuk, ezért osszunk szét még $n-21$ darab csokit úgy, hogy a feladat feltételei teljesüljenek. A plusz csokik (minimumon felüliek) elosztásánál figyelembe kell venni, hogy ha valaki kap valahány plusz csokit akkor az ABC rendben utána következő emberek mindegyike legalább annyi csokit kap. Azt az $n$ számot keressük, aminél nem találunk egy olyan embert sem a társaságban, aki pontosan tudná, hogy a többi tag hány csokit kapott. Ha $n=22$ csokit osztunk szét, akkor a fentiek szerint csak $F$ kaphatja a plusz egy csokit. Ha 23-at osztunk szét, akkor két plusz csokit kell elosztani. A lehetséges elosztásokat foglaljuk táblázatba: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>E</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Mindkét esetben $E$ és $F$ is tudja az elosztást. $n=24$: Ebben az esetben már 3 plusz csoki van, amiből csak $D$, $E$ és $F$ kaphat. A lehetséges elosztásokat foglaljuk táblázatba: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>E</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3}}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Mindhárom esetben $F$ tudja az elosztást. $n=25$: Ebben az esetben 4 plusz csoki kerül a minimumon felül kiosztásra. Ekkor már $C$ is kaphat, ám az előzőekhez hasonló okból $A$ és $B$ még mindig nem. A lehetséges elosztásokat foglaljuk itt is táblázatba: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>E</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Ha $C$ kap plusz csokit, akkor egyértelműen tudja, hogy az utána levők mind kaptak, és ezt bemondja. Ha $C$ nem szólal meg, akkor a többiek tudják, hogy nem kapott plusz csokit. Ebben az esetben, ha $D$ kap plusz csokit, akkor $D$ szólal meg, a többi esetben pedig $F$ tudja az elosztást. Ezzel beláttuk, hogy legfeljebb $n=25$ csoki esetében még el tudják dönteni, kinél hány csoki van. 26 esetén azonban már nem, például az $1-2-3-4-7-9$ leosztás esetén bármelyik tag szemszögéből végiggondolva több leosztás is szóba jöhet. Tehát $n=26$ a feladatnak megfelelő legkisebb érték.