Feladat:	B.4304	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fehér Péter
Füzet:	2011/április, 222 - 223. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számsorozatok, Egyenlőtlenségek, Teljes indukció módszere
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/november: B.4304

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Tudjuk, hogy $n!<\left(n+k\right)!$  $n\mathrm{,}k\in {\text{Z}}^{+}$, hiszen $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(n+k\right)!=n!\cdot \left(n+1\right)\cdot \left(n+2\right)\cdot \text{...}\cdot \left(n+k\right)}\end{array}$ és $\left(n+1\right)\mathrm{,}\left(n+2\right)\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}\left(n+k\right)$ mind 1-nél nagyobb egész számok. Alakítsuk át a feladat egyenlőtlenségének jobb oldalát a következőképpen: $\begin{array}{c}{\displaystyle (\text{...}((3\underset{k+1}{\overset{}{\underbrace{!)!)!\text{...})!}}}=(\text{...}((6\underset{k}{\overset{}{\underbrace{!)!)!\text{...})!}}}\mathrm{,}}\end{array}$ így ezen az oldalon is $k$-szor kell egymás után a faktoriálist képezni. Tehát az egyenlőtlenség: $\begin{array}{c}{\displaystyle (\text{...}((4\underset{k}{\overset{}{\underbrace{!)!)!\text{...})!}}}>(\text{...}((6\underset{k}{\overset{}{\underbrace{!)!)!\text{...})!}}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez viszont semmilyen $k\in {\text{Z}}^{+}$ szám esetén sem lehet igaz, hiszen $4!<6!$ és a jobb oldalon minden lépésben mindig nagyobb szám faktoriálisát vesszük. Tehát nincs olyan pozitív egész $k$, amire az egyenlőtlenség igaz lenne.