Feladat:	B.4300	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Boér Lehel
Füzet:	2011/április, 222. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Teljes indukció módszere, Négyzetszámok összege, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/október: B.4300

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelölje $S_n$ az első $n$ négyzetszám összegét. Bármely 35 egymást követő négyzetszám összege előáll az első $n+35$ négyzetszám összegének és az első $n$ négyzetszám összegének a különbségeként, azaz egyenlő $\left(S_{n+35}-S_n\right)$-nel. Tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle S_n=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\mathrm{,}}\end{array}$ így a keresett összeg felírható ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{\left(n+35\right)\left(n+36\right)\left(2n+71\right)}{6}-\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}& {\displaystyle =35n^2+1260n+14910=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =35\left(n^2+36n+426\right)}\hfill \end{array}}$ alakban, tehát osztható 35-tel.