Feladat:	B.4294	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szécsényi Andrea
Füzet:	2011/április, 221 - 222. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Vetítések, Szabályos sokszög alapú egyéb hasábok, Térelemek és részeik
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/október: B.4294

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Először megmutatjuk, hogy egyetlen sík sem metszheti a hasábnak több, mint 12 élét. A hasáb minden lapja konvex sokszög, amit bármely egyenes, s így a lap síkjának és egy azzal nem párhuzamos síknak a metszésvonala vagy elkerül, vagy egy pontban metsz, vagy egy szakaszban metsz. Vagyis egy, a hasáb lapsíkjaitól különböző sík a hasáb bármely oldalának legfeljebb két élét metszi. A hasábnak 12 lapja van és minden élen lévő metszéspont pontosan az adott élben találkozó két laphoz tartozik, ezért a metszéspontok maximális száma $\frac{12\cdot 2}{2}=12$.     Megmutatjuk, hogy van olyan sík, amely a hasábnak pontosan 12 élét metszi. Legyen az alaplap az $A_1{A}_2\text{...}{A}_{10}$, a fedőlap pedig a $B_1{B}_2\text{...}{B}_{10}$ sokszög, ahol a hasáb oldalélei az $A_1{B}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_{10}{B}_{10}$ szakaszok. Legyen az $A_1{A}_2$ és $A_2{A}_3$ élek felezőpontja $C$ és $D$, a $B_6{B}_7$ és $B_7{B}_8$ élek felezőpontja pedig $E$ és $F$. Ekkor $CD$ párhuzamos $A_1{A}_3$-al, ami a szabályos tízszög tulajdonságai miatt párhuzamos $B_6{B}_8$-cal, utóbbi pedig $EF$-fel párhuzamos. Ezért a $C$, $D$, $E$, $F$ pontok egy $\text{S}$ síkra illeszkednek. Ez a sík metszi a hasáb összes oldalélét is az $A_2{B}_2$ és az $A_7{B}_7$ élek kivételével, mert $A_2$ kivételével az alaplap miden csúcsa $\text{S}$ alatt, $B_7$ kivételével pedig a fedőlap minden csúcsa $\text{S}$ felett helyezkedik el. Tehát $\text{S}$ a hasábnak összesen $4+8=12$ élét metszi.   Megjegyzés. Ha az ,,éleket metsző'' sík helyett olyan síkot keresünk, amelynek sok ,,éllel van közös pontja'', akkor a hasáb alaplapjainak síkjai szolgáltatják a legtöbb közös pontot, 20-at.