Feladat:	B.4289	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Perjési Gábor
Füzet:	2011/április, 218. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trapézok, Körülírt kör, Síkgeometriai bizonyítások, Szinusztétel alkalmazása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/szeptember: B.4289

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A trapéz $A_i$ csúcsánál levő szöget jelölje ${\alpha }_i$. Az általánosított szinusztétel szerint egy háromszögben bármely oldal hossza megegyezik a körülírt kör átmérőjének és az oldallal szemközti szög szinuszának szorzatával (1. ábra). Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle e=2r_2\text{sin}{\alpha }_4=2r_4\text{sin}{\alpha }_2\mathrm{,}f=2r_1\text{sin}{\alpha }_3=2r_3\text{sin}{\alpha }_1\mathrm{.}}\end{array}$ 1. ábra   A trapéz bármely szárán lévő két szög összege ${180}^{\circ }$, és minden $\phi$ szögre teljesül, hogy $\text{sin}\phi =\text{sin}\left({180}^{\circ }-\phi \right)$, ezért vagy $\text{sin}{\alpha }_4=\text{sin}{\alpha }_3$ és $\text{sin}{\alpha }_2=\text{sin}{\alpha }_1$; vagy $\text{sin}{\alpha }_4=\text{sin}{\alpha }_1$ és $\text{sin}{\alpha }_2=\text{sin}{\alpha }_3$ teljesül. Ezeket felhasználva mindkét esetben kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2r_2}{e}+\frac{2r_4}{e}=\frac{1}{\text{sin}{\alpha }_4}+\frac{1}{\text{sin}{\alpha }_2}=\frac{1}{\text{sin}{\alpha }_3}+\frac{1}{\text{sin}{\alpha }_1}=\frac{2r_1}{f}+\frac{2r_3}{f}\mathrm{,}}\end{array}$ ebből pedig azonnal adódik a bizonyítandó $\frac{r_2+r_4}{e}=\frac{r_1+r_3}{f}$ állítás. 2. ábra