Kezdőlap


Feladat:	B.4288	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Wiandt Zsófia
Füzet:	2011/április, 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gömb és részei, Kocka, Pitagorasz-tétel alkalmazásai
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/szeptember: B.4288

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a keresett sugár

r

. A gömb a kocka

A

-n átmenő lapjait érinti, ezért

O

középpontja a kocka belsejében, e lapoktól egyenlő távolságra van. Ezeknek a feltételeknek a kocka

A B

testátlóján lévő pontok tesznek eleget, tehát

O

rajta van a testátlón. Jelöljük a kocka többi csúcsát az 1. ábrán látható módon. A gömböt érintő egyenesek merőlegesek az érintési pontba húzott sugárra, ezért ha a

B E_{2}

élen lévő érintési pont

T_{1}

, akkor

O T_{1} = r

és

O T_{1} ⊥ B E_{2}

1. ábra

2. ábra

Ha a gömbnek az

A E_{1} E_{2} E_{3}

lapon lévő érintési pontját

T_{2}

-vel jelöljük, akkor

O T_{2}

merőleges a lap síkjára, ezért

T_{2}

rajta van az

A B

testátlónak a lapon lévő merőleges vetületén, az

A E_{2}

lapátlón.
Tekintsük az

A E_{2} B E_{4}

síkmetszetet (2. ábra). Az

O T_{2} E_{2} T_{1}

négyszögben a

T_{1}

T_{2}

és

E_{2}

csúcsoknál derékszög van, továbbá két szomszédos oldala egyenlő hosszú (

O T_{1} = r = O T_{2}

), ezért a négyszög négyzet, tehát

T_{1} E_{2} = T_{2} E_{2} = r

Ebből, felhasználva hogy

A E_{2} = \sqrt[]{2}

, kapjuk, hogy

A T_{2} = \sqrt[]{2} - r

és

B T_{1} = 1 - r

. Az

A T_{2} O

és az

O T_{1} B

háromszögek hasonlóak, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak. Ezért ezen oldalaik aránya egyenlő, tehát

\begin{matrix} \frac{A T_{2}}{O T_{2}} = \frac{O T_{1}}{B T_{1}}, azaz \frac{\sqrt[]{2} - r}{r} = \frac{r}{1 - r} . \end{matrix}

Ebből közös nevezőre hozva és rendezve kapjuk, hogy

\sqrt[]{2} - r (1 + \sqrt[]{2}) = 0

, vagyis a keresett sugár:

\begin{matrix} r = \frac{\sqrt[]{2}}{1 + \sqrt[]{2}} = \sqrt[]{2} (\sqrt[]{2} - 1) = 2 - \sqrt[]{2} . \end{matrix}